Question

已知a,b,c是不全相等正数，求证（b+c)/a+(c+a)/b+(a+b)/c>6

Answer 1

利用不等式。a^2+b^2≥2ab
我先给你推出不等式。由完全平方公式(a-b)^2=a^2-2ab+b2≥0，得a^2+b^2≥2ab，当且仅当a=b时取等号。

解：
（b+c)/a+(c+a)/b+(a+b)/c
=b/a+c/a+c/b+a/b+a/c+b/c
=(b/a+a/b)+(c/a+a/c)+(c/b+b/c)

a，b，c都是正数，把式子变成平方形式：
(√b/a)^2+(√a/b)^2+(√c/a)^2+(√a/c)^2+(√c/b)^2+(√b/c)^2
≥2√(b/a)*√(a/b)+2√(c/a)*√(a/c)+2√(c/b)*√(b/c)
=2+2+2=6

当且仅当b/a=a/b c/a=a/c c/b=b/c
即a=b=c时取等号。
又a,b,c是不全相等正数，
使得原式取不到等号。

所以，（b+c)/a+(c+a)/b+(a+b)/c>6
Q.E.D

Answer 2

∵a>0,b>0,c>0
∴abc>0
两边同时乘以abc，得bc(b+c)+ac(a+c)+ab(a+b)>6abc,
a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2-6abc>0
∴只需证明a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2-6abc>0，即可证明原不等式成立
而a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2-6abc
(ab^2+ac^2-2abc)+(ba^2+bc^2-2abc)+(ca^2+cb^2-2abc)
=a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2
∵a>0,b>0,c>0,a-b≠0,b-c≠0,c-a≠0
∴a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2>0，即a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2-6abc>0
原命题得证
或者：我们先证明当x>0时x+1/x>=2，并且只有x=1时取到等号
因为x>0，所以x^2+1>=2x,x^2-2x+1>=0,(x-1)^2>=0
这个过程是互逆的，由(x-1)^2>=0可倒过来推出x+1/x>=2(x>0)，且只有x=1时(x-1)^2=0
或者，把y=1/x(x>0)和y=-x+2的图象画出来，可以看出1/x>=-x+2，由此可以推出x+1/x>=2，而且两图象只有一个交点(1,1)，所以只有x=1时不等式取到等号
之后，原式左边=b/a+c/a+c/b+a/b+a/c+b/c=(a/b+b/a)+(b/c+c/b)+(c/a+a/c)
而因为a,b是不相等的正数，所以a/b>0,a/b≠1，可得a/b+b/a>2
同理可得b/c+c/b>2,c/a+a/c>2,(a/b+b/a)+(b/c+c/b)+(c/a+a/c)>2+2+2=6
原命题得证

Answer 3

已知a,b,c是不全相等正数，求证（b+c)/a+(c+a)/b+(a+b)/c>6
证明：因为a，b，c是不全相等的正数，故有：
（b+c)/a+(c+a)/b+(a+b)/c=(b/a)+(c/a)+(c/b)+(a/b)+(a/c)+(b/c)
>6[(b/a)(c/a)(c/b)(a/b)(a/c)(b/c)]^(1/6)=6

Answer 4

=b/a+a/b+a/c+c/a+b/c+c/b
用基本不等式