Question

已知-π/2<x<0 sinx+cosx=1/5 求cos2x cos2x能确定正负吗 答案给的是正值

Answer 1

解：方法1.因为sinx+cosx=1/5,所以：
sin²x+2sinxcosx+cos²x=1/25
即sin2x=-24/25
又-π/2<x<0且sinx+cosx=1/5>0
则由正弦和余弦在-π/2<x<0内取值情况可知：
-π/4<x<0即-π/2<2x<0
这就是2x是第四象限角
所以解得cos2x=7/25

方法2.因为sinx+cosx=1/5,所以
√2*sin(x+π/4)=1/5
即sin(x+π/4)=√2/10
因为-π/2<x<0，即-π/4<x+π/4<π/4
所以解得cos(x+π/4)=7√2/10
则cos2x=sin(2x+π/2)
=2sin(x+π/4)cos(x+π/4)
=2*(√2/10)*7√2/10
=7/25

相较而言，方法2避免了分类讨论！

追问

方法2我明白了 可是方法1 你怎么得的-π/4＜x＜0

追答

如果-π/2＜x＜-π/4，那么
-1<sinx<-√2/2,而此时0<cosx<√2/2
所以sinx+cosx<0
不满足题意
易得-π/4＜x＜0

Answer 2

sinx + cosx = 1/5 ==> (sinx + cosx)^2 = (1/5)^2 ==> sin^2 x + 2sinxcosx + cos^2 x = 1/25
==> 1 + sin(2x) = 1/25
==> sin(2x) = 1/25-1 = -24/25

cos(2x) = +-(1-(-24/25)^2)^(1/2) = +-7/25.

cos(2x) = -7/25, -π/2<x<0 ==> -π < 2x < -π/2 ==> -π/2<x<-π/4 ==> sinx + cosx < 0

==>
cos(2x) = 7/25

Answer 3

能确定，是7/25

追问

为什么呀为什么呀