Question

如图, PA⊥平面ABCD,ABCD为正方形, PA=AD=2,E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点.

(Ⅰ) 求证：PB∥面EFG；
（Ⅱ）求异面直线EG与BD所成的角的余弦值；

Answer 1

证明：

(Ⅰ)

取AB的中点H，连接HG，EH

∵E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点

∴EF∥AD∥HG

∴E、F、G、H四点共面

又H是AB的中点

∴EH∥PB

又EH〔面EFG，PB￠面EFG

∴PB∥面EFG

(Ⅱ)

建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz

则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)

P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)

∴向量EG＝(1，2，－1)，向量BD＝(－2，2，0)

∴cos<向量EG，向量BD>＝(向量EG•向量BD)/(|EG|•|BD|)＝(－2＋4)/(√6•2√2)＝√3/6

Answer 2

（1）证明：AB中点M,连接MG.ME
FE//AD//GM,
中位线，EM//PB. 又EM属于面FEMG,故PB//面EFG
(2)解：BC中点N，连接EN.GN
GN//BD.所以异面直线EG与BD所成的角即为∠EGN。△EGN为等腰三角形
易得各边长，GN=根2，EG=EN=根6
所以cos∠EGN=GN/2EG=根3/6

Answer 3

以A为原点
AB为x轴
AD为y轴
AP为z轴建系，∵PA=AD=2
且ABCD为正方形，∴cd=2
，向量ab为面PAD的法向量
，向量ab=(2.0.0)，F为PD中点，F(0.1.1)，Q为CG中点，G为CD中点∴Q(1.5，2，0)向量QF=(-1.5，-1,1)，QF于面PAD所成角的正弦值等于
QF于AB的余弦值的绝对值，sinα=cos(向量ab，向量QF)=向量QF×向量AB除以QF模×AB模=17分之3×根17