Question

证明|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|

要求详细证明

Answer 1

采用平方运算

(|a| - |b|)^2 = a^2 - 2|ab| + b^2 ................. (1)
|a-b|^2 = a^2 - 2ab + b^2 ..........................(2)
(|a|+|b|)^2 = a^2 + 2|ab| + b^2 ....................(3)

-2|ab| ≤ -2ab ≤ 2|ab|
所以对各式子 (1) ≤ (2) ≤ (3)

|a-b| 、|a|+|b| 均 不小于0，因此 由(2)、(3)两式开平方 以及 (2) ≤ (3) 得到
|a-b|≤|a|+|b|

|a|-|b| 可能小于0，而 |a-b| 始终不小于0。因此 由(1)、(2)两式开平方 以及 (1) ≤ (2) 得到
|a|-|b|≤|a-b|

综上所述， |a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|

Answer 2

（|a|-|b|)^2 =a^2+b^2-2|ab|
（|a-b|)^2 =|a^2+b^2-2ab|
（|a|+|b|)^2 =a^2+b^2+2|ab|
因此可知，（|a-b|)^2 ≤ （|a|+|b|)^2 当ab>0时，等号成立
（|a|-|b|)^2 ≤ （|a-b|)^2 当ab<0时，等号成立
因此
（|a|-|b|）^2≤(|a-b|)^2≤(|a|+|b|)^2
当|a|>=|b|时，不等式开方，|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|
当|a|<|b|时，|a|-|b|<0,|a-b|>=0,所以，|a|-|b|≤|a-b|,
最终，|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|

Answer 3

分类讨论
a b是负数和非负的情况