Question

已知a为常数,函数f(x)=a(x-1)(x-a) ，问

（1） 若f(x)＞负a 对一切x∈R恒成立，求a的取值范围，
（2） 解不等式f(x)＞x-1
急用答案

Answer 1

1) a(x-1)(x-a)>-a
a>0, (x-1)(x-a)>-1, x^2-(a+1)x+a+1>0, delta=(a+1)^2-4(a+1)=(a+1)(a-3)<0,
-1<a<3--> 0<a<3
a<0, (x-1)(x-a)<-1, 不能对所有X都成立。
a=0, 0>-0, 不成立
所以综合得：0<a<3
2) a(x-1)(x-a)>(x-1)
当a=0, 0>x-1, x<1
当x=1, 0>0, 不符
当x>1, a(x-a)>1, ax>a^2+1,
a>0, x>a+1/a>=2, 符合, x>a+1/a
a<0, x<a+1/a<=-2 不符
x<1, a(x-a)<1, ax<a^2+1
a>0, x<a+1/a, 即 x<1
a<0, x>a+1/a， 即 a+1/a<x <1
综合得：a=0, x<1
a>0, x>a+1/a
a<0, a+1/a<x<1

追问

为什么不能分a=0 a＜0 a＞0来做？

追答

也可以，从最后结果来看确实那样分可能会好些。

Answer 2

（1）
f(x)=a(x-1)(x-a)
f(x)>-a恒成立
a(x-1)(x-a)>-a
当a=0,0>0,不符合一切x∈R恒成立
(x-1)(x-a)>-1
x^2-(a+1)x+a+1>0
x∈R恒成立
△=(a+1)^2-4(a+1)<0
-1<a<3
综上，a∈(-1,0)∪(0,3)

（2）
f(x)＞x-1
a(x-1)(x-a)>x-1
当x-1=0,==>x=1
0>0,不成立

当x-1≠0
a(x-a)>1
ax-a^2-1>0

当a>0，
x>(a^2+1)/a

当a<0
x<(a^2+1)/a

当a=0
-1>0,无解