Question

函数f(x)=loga(2x^2+x)(a＞0 a≠1）若在（0，1/2）内恒有f(x)＞0

若函数f(x)=loga(2x^2+x) (a>0,a≠1)在区间(0,1/2)内恒有f(x)>0,解关于x的不等式f(log2(9^x+2^(2x+1)+1))>f(2log4(6^x+4^(4x+1)+1))

Answer 1

∵函数f(x)=loga(2x^2+x)(a>0 a≠1)若在(0,1/2)内恒有f(x)>0
而x∈(0,1/2)时，(2x^2+x)∈(0,1)
∴函数f(x)为减函数，且0<a<1
由0<2x^2+x<1解得-1<x<1/2，因x定义域在(0,1/2)上，∴0<x<1/2

∴对不等式f(log2(9^x+2^(2x+1)+1))>f(2log4(6^x+4^(4x+1)+1))
有log2(9^x+2^(2x+1)+1)<2log4(6^x+4^(4x+1)+1)
设u=9^x+2^(2x+1)+1，v=6^x+4^(4x+1)+1
则不等式左边=log2(u)，不等式右边=2log4(v)。右边可化为底数为2的对数，
即2log4(v)=2[log2(v)/log2(4)]=2[log2(v)/2log2(2)]=2[log2(v)/2]=log2(v)
不等式即可化简为log2(u)<log2(v)
∵函数log2(x)为增函数，∴不等式等价于u<v，即9^x+2^(2x+1)+1<6^x+4^(4x+1)+1
即9^x-6^x+2^(2x+1)-4^(4x+1)<0，即9^x-6^x<4^(4x+1)-2^(2x+1)
后面太复杂，解不出来了，请高人指教

证明不等式还可以，直接解就解不出来了错；证明过程如下：

设上述不等式左边为s(x)=9^x-6^x ，右边为t(x)=4^(4x+1)-2^(2x+1)
对左边，对s(x)求导，得s'(x)=(9^x-6^x)'=ln9*9^x-ln6*6^x=ln9*9^x[1-(ln6/ln9)*(6/9)^x]
当x∈(0,1/2)时，(ln6/ln9)*(6/9)^x<1恒成立，
∴在(0,1/2)上s'(x)>0恒成立，∴s(x)在(0,1/2)上为单调增函数
对右边，t(x)=4^(4x+1)-2^(2x+1)=4*4^(4x)-2*2^(2x)=4*[2^(2x)]^4-2*2^(2x)
设y=2^(2x)，则t(x)=4y^4-2y=2y(2y^3-1)
对t(x)求导，得t'(x)=(16y^3-2)y'=2(8y^3-1)y'，而y'=2^(2x)*2*ln2=2*2^(2x)*ln2>0
当x∈(0,1/2)时，y∈(1,2)，8y^3-1>0，∴t'(x)=2(8y^3-1)y'>0
∴在(0,1/2)上t'(x)>0恒成立，∴t(x)在(0,1/2)上为单调增函数
综合考察s(x)和t(x)在(0,1/2)上的值，发现s(0)=1-1=0，t(0)=4-2=2；s(1/2)=3-√6，t(1/2)=4^3-2^2=60；很明显，有s(0)<t(0)，s(1/2)<t(1/2)
又∵在s(x),t(x)在(0,1/2)上均为单调增函数，∴在x∈(0,1/2)时，有s(x)<t(x)
即上述不等式9^x-6^x<4^(4x+1)-2^(2x+1)成立

因为不等式在(0,1/2)上恒成立，若说有解的话，x的解就是在定义域内的所有值，
即0<x<1/2即为不等式的解。
写了这么多，其实就开头和最后一段对解有用，中间的较复杂，全是化简、证明过程

追问

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追答

原来是你给的题目有问题，原题是4^(4x+1)，而不是4^(x+1)，如果是4^(x+1)那就好解了
∵函数f(x)=loga(2x^2+x)(a>0 a≠1)若在(0,1/2)内恒有f(x)>0
而x∈(0,1/2)时，(2x^2+x)∈(0,1)
∴函数f(x)为减函数，且00 ∴3^x-2(2^x)<0，3^x<2(2^x)，(3/2)^x<2
取对数，所以x<log(3/2)2