Question

这道双曲线数学题怎么做？

设P点在以F1、F2为左右焦点的双曲线C：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1(a>0,b>0)上，PF2⊥x轴，PF2=3，点D为其右顶点，且F1D=3DF2。 ⑴求双曲线C的方程 ⑵设过点M(2,0)的直线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且满足|OA|^2+|OB|^2>|AB|^2，（其中O为原点）求直线l的斜率取值范围 要具体步骤啊！详细可以加分！

Answer 1

设P点在以F1、F2为左右焦点的双曲线C：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1(a>0,b>0)上，PF2⊥x轴，PF2=3，点D为其右顶点，且F1D=3DF2。 ⑴求双曲线C的方程 ⑵设过点M(2,0)的直线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且满足|OA|^2+|OB|^2>|AB|^2，（其中O为原点）求直线l的斜率取值范围 要具体步骤啊！详细可以加分！
(1)解析：∵双曲线C：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1(a>0,b>0)，F1、F2为左右焦点，P在曲线C上
PF2⊥x轴，PF2=3
∴P(c,3)==> (c^2/a^2)-(9/b^2)=1==>b^4=9a^2==>b^2=3a
∵D(a,0)，F1D=3DF2
∴a+c=3(c-a)==>c=2a==>a^2+b^2=4a^2==>b^2=3a^2
∴a=1==>b^2=3
∴双曲线C：x^2-y^2/3=1

(2)解析：∵直线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且满足|OA|^2+|OB|^2>|AB|^2
设A(x1,y1),B(x2,y2),
|OA|^2=x1^2+y1^2
|OB|^2=x2^+y2^
|AB|^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2
∴x1x2+y1y2<0
设过点M(2,0)的直线l：y=kx-2k, y^2=k^2x^2-4k^2x+4k^2
代入曲线C：(3-k^2)x^2+4k^2x-4k^2-3=0
由韦达定理得x1+x2=-4k^2/(3-k^2), x1x2=-(4k^2+3)/(3-k^2)
Y1y2=k^2(x1-2)(x2-2)=k^2[x1x2-2(x1+x2)+4]
=k^2[4-(4k^2+3)/(3-k^2)+8k^2/(3-k^2)]=9k^2/(3-k^2)
x1x2+y1y2=-(4k^2+3)/(3-k^2)+ 9k^2/(3-k^2)=(5k^2-3)/(3-k^2)<0
5k^2-3<0==>k^2<3/5, 3-k^2>0==>k^2<3, ∴k^2<3/5==>-3/5<k<3/5
5k^2-3>0==>k^2>3/5, 3-k^2<0==>k^2>3, ∴k^2>3==>k<-3或k>3
综上：直线l的斜率取值范围为：
K∈(-∞,-3) U (-3/5,3/5) U (3,+∞)

以上仅供参考