Question

一道高一数学练习题（属于平面向量范围内）

已知 a 、b 为非零向量，求证 ：a ⊥b ⇔ | a ＋ b | ＝| a －b | 。

Answer 1

a ⊥b ⇔a*b=0
| a ＋ b | ＝√（a+b)^2=√(a^2+b^2+2*a*b)=√(a^2+b^2)
| a －b | =√（a-b)^2=√(a^2+b^2-2*a*b)=√(a^2+b^2)
所以a ⊥b ⇔ | a ＋ b | ＝| a －b |

Answer 2

因为 a ⊥b
所以 a*b=0 (两个向量垂直时向量积为零)

额。。。。好吧。。。好多数学符号不会打
你把 | a ＋ b | 弄个平方就等于 a的平方加b的平方加2a*b,因为 a*b=0 所以就是等于a的平方加上b的平方
同理| a －b | 的平方等于a的平方加b的平方 减去2a*b, 因为 a*b=0 所以也是等于a的平方加上b的平方
所以等式两边是成立的

Answer 3

①A⊥B（大写字母表示向量，小写字母表示对应向量的模长）
得到AB=0，
要证 | A＋ B | ＝| A －B |
即证| A＋ B |^2 ＝| A －B | ^2
得到4AB=0
显然成立
②已知
| A＋ B | ＝| A －B |
两边平方后得到AB=0，即A⊥B

证明题可以从结果入手到条件，这是一种常用的思路，平面向量里也常常利用平方使得向量和实数之间实现转化。

Answer 4

证明：已知a⊥b，一ab为建立坐标系设a为（0.j）b为（i.0）