Question

已知a，b，c均为正整数，且满足a^2+b^2=c^2,又a为质数，

（1）证明，b与c两数必为一奇一偶
（2）证明，2(a+b+1)是完全平方数

Answer 1

（1）证明： a^2 = c^2 - b^2
= (c - b)(c+b)
若b , c同奇偶的话 c - b 与 c + b 必定都是 偶数
那么 a^2 必定能整除 4
即 a 能整除 2
这与 a 是质数 矛盾
所以 b 与 c 两数必为一奇一偶
（2） 因为 a^2 = (c - b)(c+b)
且 a 为质数
所以 c - b = 1 ————————————— (1)
c + b = a^2 ————————————(2)
由 (2) - (1) 得 2b + 1 = a^2
所以 2(a+b+1) = 2a + 2b + 1 + 1
= 2a + a^2 + 1
= (a + 1)^2
即2(a+b+1)是完全平方数