Question

设函数f(x)对任意x,y属于R都有f(x+y)=f(x)+f(y)+1，试证明f(x)的奇偶性

第二问是证明f(x)+1的奇偶性

Answer 1

（1）令y=0，得f（0）=-1
令y=-x，得斐f（0）=f(x)+f(-x)+1，又f（0）=-1
所以f（x）=-f（-x）-2，f（x）为非奇非偶
（2）令y=0，得f（0）=-1
令y=-x，得斐f（0）=f(x)+f(-x)+1，又f（0）=-1
所以-1-f（x)=f(-x)+1，令-x=x，则f(x)+1=-（f（-x）+1），奇函数

Answer 2

g(x)=f(x)+1,
g(x+y)=f(x+y)+1=f(x)+1+f(y)+1=g(x)+g(y)
g(0)=g(0+0)=g(0)+g(0), 0=g(0)
0=g(0)=g(x-x)=g(x)+g(-x)
g(-x)=-g(x)
g(x)=f(x)+1为奇函数.

Answer 3

见图片哈