Question

已知定义在R上的函数f(x)=2^x+a/2^x，a为常数

已知定义在R上的函数f(x)=2^x+a/2^x，a为常数
（1）如果f(x)满足f(-x)=f(x),求a的值
（2）当f(x)满足(1)时，用单调定义判断f(x)在[0,＋∞)上的单调性。并猜想f(x)在(－∞,0]上的单调性

Answer 1

1）满足f(-x)=f(x),为偶函数∴f(-1)=f(1), 1/2+2a=2+a/2, (2-1/2)a=2-1/2, a=1
2) f'(x)=ln2*2^x-ln2/2^x=ln2(2^x-1/2^x)
在[0,＋∞)上，2^x≥1, 2^x-1/2^x>0, f'(x)>0，∴f(x)在[0,＋∞)上单调递增
猜想f(x)在(－∞,0]上单调递减

Answer 2

1）f(x)=f(-x), 2^x+a/2^x=1/2^x+a*2^x,a=1
2）当a=1时，因为f(x)=f(-x),f(x)为偶函数，于Y轴有单调对称性，当x>0时，f(x)单调递增，则有偶函数可知其在(－∞,0]区间上单调递减