Question

如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，点P为三角形内任意一点，PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E,PF⊥AB于点F，AB=a

⑴求证：PD+PE+PF为定值；
⑵求出该定值。

Answer 1

(1)证明：连接PA、PB、PC
∴△ABC的面积=△APB面积+△APC面积+△BPC面积
∵∠A＝∠B＝∠C
∴AB=AC=BC
过A做AG垂直于BC于G，
所以：1/2 AG·BC=1/2 (PD +PE +PF)·BC
∴PD+PE+PF=AG
而AG是等边三角形的高，是定值
所以PD+PE+PF为定值
（2）因为△ABC是等边三角形， AB=a
∴BG=1/2 a
再根据勾股定理可以计算得出：AG=√3/2

Answer 2

ABC是等边三角形过 A做AG垂直于BC于M，
所以：1/2 AM.BC=1/2 (PD +PE +PF)·BC
∴PD+PE+PF=AM
而AM是等边三角形的高，是定值
所以PD+PE+PF为定值
（2）因为△ABC是等边三角形， AB=a
∴BG=1/2 a
再根据勾股定理可以计算得出：AG=√3/2