小学四年级奥数 盈亏问题

阿加莎大幅度
2011-07-11
知道答主
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盈亏问题
人们在分东西的时候,经常会遇到剩余(盈)或不足(亏),根据分东西过程中的盈或亏所编成的应用题叫做盈亏问题。
例1 小朋友分糖果,若每人分4粒则多9粒;若每人分5粒则少6粒。问:有多少个小朋友分多少粒糖?
  分析:由题目条件可以知道,小朋友的人数与糖的粒数是不变的。比较两种分配方案,第一种方案每人分4粒就多9粒,第二种方案每人分5粒就少6粒,两种不同的方案一多一少相差9+6=15(粒)。相差的原因在于两种方案的分配数不同,第一种方案每人分4粒,第二种方案每人分5粒,两次分配数之差为5-4=1(粒)。每人相差1粒,多少人相差15粒呢?由此求出小朋友的人数为15÷1=15(人),糖果的粒数为
  4×15+9=69(粒)。
解:(9+6)÷(5-4)=15(人),
  4×15+9=69(粒)。
  答:有15个小朋友,分69粒糖。
例2 小朋友分糖果,若每人分3粒则剩2粒;若每人分5粒则少6粒。问:有多少个小朋友?多少粒糖果?
  分析:本题与例1基本相同,例1中两次分配数之差是5-4=1(粒),本题中两次分配数之差是5-3=2(粒)。例1中,两种分配方案的盈数与亏数之和为9+6=15(粒),本题中,两种分配方案的盈数与亏数之和为2+6=8(粒)。仿照例1的解法即可。
解:(6+2)÷(4——2)=4(人),
  3×4+2=14(粒)。
  答:有4个小朋友,14粒糖果。
  由例1、例2看出,所谓盈亏问题,就是把一定数量的东西分给一定数量的人,由两种分配方案产生不同的盈亏数,反过来求出分配的总人数与被分配东西的总数量。解题的关键在于确定两次分配数之差与盈亏总额(盈数+亏数),由此得到求解盈亏问题的公式:
分配总人数=盈亏总额÷两次分配数之差。
  需要注意的是,两种分配方案的结果不一定总是一“盈”一“亏”,也会出现两“盈”、两“亏”、一“不盈不亏”一“盈”或“亏”等情况。
例3 小朋友分糖果,每人分10粒,正好分完;若每人分16粒,则有3个小朋友分不到糖果。问:有多少粒糖果?
分析与解:第一种方案是不盈不亏,第二种方案是亏16×3=48(粒),所以盈亏总额是0+48=48(粒),而两次分配数之差是16——10=6(粒)。由盈亏问题的公式得
  有小朋友(0+16×3)÷(16——10)=8(人),
  有 糖10×8=80(粒)。
  下面的几道例题是购物中的盈亏问题。
例4 一批小朋友去买东西,若每人出10元则多8元;若每人出7元则少4元。问:有多少个小朋友?东西的价格是多少?
分析与解:两种购物方案的盈亏总额是8+4=12(元),两次分配数之差是10——7=3(元)。由公式得到
  小朋友的人数(8+4)÷(10——7)=4(人),
  东西的价格是10×4——8=32(元)。
例5 顾老师到新华书店去买书,若买5本则多3元;若买7本则少1.8元。这本书的单价是多少?顾老师共带了多少元钱?
分析与解:买5本多3元,买7本少1.8元。盈亏总额为3+1.8=4.8(元),这4.8元刚好可以买7——5=2(本)书,因此每本书4.8÷2=2.4(元),顾老师共带钱
  2.4×5+3=15(元)。
例6 王老师去买儿童小提琴,若买7把,则所带的钱差110元;若买5把,则所带的钱还差30元。问:儿童小提琴多少钱一把?王老师带了多少钱?
  分析:本题在购物的两个方案中,每一个方案都出现钱不足的情况,买7把小提琴差110元,买5把小提琴差30元。从买7把变成买5把,少买了7——5=2(把)提琴,而钱的差额减少了110——30=80(元),即80元钱可以买2把小提琴,可见小提琴的单价为每把40元钱。
解:(110——30)÷(7——5)=40(元),
  40×7——110=170(元)。
  答:小提琴40元一把,王老师带了170元钱。
练习14
  1.小朋友分糖果,每人3粒,余30粒;每人5粒,少4粒。问:有多少个小朋友?多少粒糖?
  2.一个汽车队运输一批货物,如果每辆汽车运3500千克,那么货物还剩下5000千克;如果每辆汽车运4000千克,那么货物还剩下500千克。问:这个汽车队有多少辆汽车?要运的货物有多少千克?
  3.学校买来一批图书。若每人发9本,则少25本;若每人发6本,则少7本。问:有多少个学生?买了多少本图书?
  4.参加美术活动小组的同学,分配若干支彩色笔。如果每人分4支,那么多12支;如果每人分8支,那么恰有1人没分到笔。问:有多少同学?多少支彩色笔?
  5.红星小学去春游。如果每辆车坐60人,那么有15人上不了车;如果每辆车多坐5人,那么恰好多出一辆车。问:有多少辆车?多少个学生?
  6.某数的8倍减去153,比其5倍多66,求这个数。
  7.某厂运来一批煤,如果每天烧1500千克,那么比原计划提前一天烧完;如果每天烧1000千克,那么将比原计划多用一天。现在要求按原计划烧完,那么每天应烧煤多少千克?
  8.同学们为学校搬砖,每人搬18块,还余2块;每人搬20块,就有一位同学没砖可搬。问:共有砖多少块?

有些问题初看似乎不像盈亏问题,但将题目条件适当转化,就露出了盈亏问题的“真相”。
例1 某班学生去划船,如果增加一条船,那么每条船正好坐6人;如果减少一条船,那么每条船就要坐9人。问:学生有多少人?
  分析:本题也是盈亏问题,为清楚起见,我们将题中条件加以转化。假设船数固定不变,题目的条件“如果增加一条船……”表示“如果每船坐6人,那么有6人无船可坐”;“如果减少一条船……”表示“如果每船坐9人,那么就空出一条船”。这样,用盈亏问题来做,盈亏总额为6+9=15(人),两次分配的差为9——6=3(人)。
  解:(6+9)÷(9——6)=5(条),
  6×5+6=36(人)。
  答:有36名学生。
例2 少先队员植树,如果每人挖5个坑,那么还有3个坑无人挖;如果其中2人各挖4个坑,其余每人挖6个坑,那么恰好将坑挖完。问:一共要挖几个坑?
  分析:我们将“其中2人各挖4个坑,其余每人挖6个坑”转化为“每人都挖6个坑,就多挖了4个坑”。这样就变成了“典型”的盈亏问题。盈亏总额为4+3=7(个)坑,两次分配数之差为6——5=1(个)坑。
解:[3+(6-4)×2]÷(6-5)=7(人)
  5×7+3=38(个)。
  答:一共要挖38个坑。
例3在桥上用绳子测桥离水面的高度。若把绳子对折垂到水面,则余8米;若把绳子三折垂到水面,则余2米。问:桥有多高?绳子有多长?
分析与解:因为把绳子对折余8米,所以是余了8×2=16(米);同样,把绳子三折余2米,就是余了3×2=6(米)。两种方案都是“盈”,故盈亏总额为16——6=10(米),两次分配数之差为3-2=1(折),所以
  桥高(8×2-2×3)÷(3-2)=10(米),绳子的长度为2×10+8×2=36(米)。
例4有若干个苹果和若干个梨。如果按每1个苹果配2个梨分堆,那么梨分完时还剩2个苹果;如果按每3个苹果配5个梨分堆,那么苹果分完时还剩1个梨。问:苹果和梨各有多少个?
分析与解:容易看出这是一道盈亏应用题,但是盈亏总额与两次分配数之差很难找到。原因在于第一种方案是1个苹果“搭配”2个梨,第二种方案是3个苹果“搭配”5个梨。如果将这两种方案统一为1个苹果“搭配”若干个梨,那么问题就好解决了。将原题条件变为“1个苹果搭配2个梨,缺4个梨;
 
 
 
有梨15×2-4=26(个)。
例5乐乐家去学校上学,每分钟走50米,走了2分钟后,发觉按这样的速度走下去,到学校就会迟到8分钟。于是乐乐开始加快速度,每分钟比原来多走10米,结果到达学校时离上课还有5分钟。问:乐乐家离学校有多远?
分析与解:乐乐从改变速度的那一点到学校,若每分钟走50米,则要迟到8分钟,也就是到上课时间时,他离学校还有50×8=400(米);若每分钟多走10米,即每分钟走60米,则到达学校时离上课还有5分钟,如果一直走到上课时间,那么他将多走(50+10)×5=300(米)。所以盈亏总额,即总的路程相差
  400+300=700(米)。
  两种走法每分钟相差10米,因此所用时间为
  700÷10=70(分),
  也就是说,从乐乐改变速度起到上课时间有70分钟。所以乐乐家到学校的距离为
  50×(2+70+8)=4000(米),
  或 50×2+60×(70——5)=4000(米)。
例6王师傅加工一批零件,每天加工20个,可以提前1天完成。工作4天后,由于改进了技术,每天可多加工5个,结果提前3天完成。问:这批零件有多少个?
分析与解:每天加工20个,如果一直加工到计划时间,那么将多加工20个零件;改进技术后,如果一直加工到计划时间,那么将多加工(20+5)×3=75(个)。盈亏总额为75——20=55(个)。两种加工的速度比较,每天相差5个。根据盈亏问题的公式,从改进技术时到计划完工的时间是55÷5=11(天),计划时间为11+4=15(天),这批零件共有20×(15——1)=280(个)。
练习15
1.筑路队计划每天筑路720米,实际每天比原计划多筑80米,这样在完成规定任务的前三天,就只剩下1160米未筑。问:这条路共有多长?
2.小红家买来一篮桔子,分给全家人。如果其中二人每人分4只,其余每人分2只,那么多出4只;如果一人分6只,其余每人分4只,那么缺12只。问:小红家买来多少只桔子?小红家共有几人?
3.食堂采购员小李去买肉,如果买牛肉18千克,那么差4元;如果买猪肉20千克,那么多2元。已知牛肉、猪肉每千克差价8角,求牛肉、猪肉每千克各多少钱。
4.李老师给小朋友分苹果和桔子,苹果数是桔子数的2倍。桔子每人分3个,多4个;苹果每人分7个,少5个。问:有多少个小朋友?多少个苹果和桔子?
5.用绳子测量井深。如果把绳子三折垂到水面,余7米;如果把绳子5折垂到水面,余1米。求绳长与井深。
6.老师给幼儿园小朋友分苹果。每两人三个苹果,多两个苹果;每三人五个苹果,少四个苹果。问:有多少个小朋友?多少个苹果?
7.小明从家到学校去上学,如果每分钟走60米,那么将迟到5分钟;如果每分钟走80米,那么将提前3分钟。小明家距学校多远?
皋腾l8
2011-07-10 · TA获得超过3万个赞
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把若干物体平均分给一定数量的对象,并不是每次都能正好分完。如果物体还有剩余,就叫盈;如果物体不够分,少了,叫亏。凡是研究盈和亏这一类算法的应用题就叫盈亏问题。
  一般解法:(盈数+亏数)除以两次分配只能够每份的差=所分对象数,物品数可由其中一种分法的份数和盈亏数求出。
  其它(高级):盈亏临界点——交易所股票交易量的基数点,超过这一点就会实现盈利,反之则亏损。
  盈亏临界点计算的基本模型
  设以P代表利润,V代表销量,SP代表单价、VC代表单位变动成本,FC代表固定成本,BE代表盈亏临界点,根据利润计算公式可求得盈亏临界点的基本模型为:
  盈亏临界点的计算,可以采用实物和金额两种计算形式:
  1.按实物单位计算:
  其中,单位产 设某产品单位售价为10元,单位变动成本为6元,相关固定成本为8 000元,则盈亏临界点的销售量(实物单位)=8 000÷(10-6)=2 000(件)。品贡献毛益=单位产品销售收入-单位变动成本
  2.按金额综合计算:盈亏临界点的销售量(用金额表现)=固定成本÷贡献毛益率
  其中,贡献毛益率=贡献毛益/ 销售收入
编辑本段
数量关系中的盈亏问题

  已知两个分配方案,一次分配有余,一次分配不足,求参加分配的人数及被分配的总量。这样的问题通常叫做盈亏问题。
  
知识背景
  盈亏的问题曾记载在我国古代数学名著《九章算术》中的第六章--------“盈不足章”中,盈,就是有余;亏,就是不足的意思。
  典型的盈亏问题一般以下列的形式表述:
  把若干个苹果(未知数)分给若干个人(未知数),如果每人分2个还多20个,如果每人分3个则少5个。问总共有多少人?有多少个苹果?
  题目中的不变量是人数和苹果数,比较两种不同的分配方法,可知苹果相差:
  20 + 5 = 25 (个);相差25个苹果,亳无疑问是由于每人相差苹果 3 - 2 = 1 (个)而做成的,
  事实上,只有唯一一种情况才会导至上述情形,那就是有25人分苹果!
  求得人数后,进而可以根据题意,用两种方法求得苹果的数目:
  2×25+20=70(个)或3×25-5=70(个)。
解盈亏问题的公式
  【一盈一亏的解法】
  (盈数+亏数)÷两次每人分配数的差
  【双盈的解法】
  (大盈-小盈)÷两次每人分配数的差
  【双亏的解法】
  (大亏-小亏)÷两次每人分配数的差
重点难点
  有些应用题,从表面看起来似乎不是盈亏问题,但认真分析,将条件适当地转化后,竟然可变成盈亏问题进行解答。
学法指导
  由解盈亏问题的公式可以看出,求解此类问题的关键是小心确定两次分配数量的差和盈亏的总额,如果两次分配是一次是有余,另一次是不足时,则依上面的公式先求得人数(不是物数),再求出物数;如果两次分配都是有余,则公式变成盈额差除以两次分配数之差;如果两次分配都是不足时,则公式变成亏额差除以两次分配数之差,如果……
  有时候,必须转化题目中条件,才能从复杂的数量关系中寻找解答;有时候,直接从“包含”入手比较困难,可以间接从其反面“不包含”去想就会比较容易。
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雪峰清莲
2011-07-13
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把若干物体平均分给一定数量的对象,并不是每次都能正好分完。如果物体还有剩余,就叫盈;如果物体不够分,少了,叫亏。凡是研究盈和亏这一类算法的应用题就叫盈亏问题。

  一般解法:(盈数+亏数)除以两次分配只能够每份的差=所分对象数,物品数可由其中一种分法的份数和盈亏数求出。   其它(高级):盈亏临界点——交易所股票交易量的基数点,超过这一点就会实现盈利,反之则亏损。   盈亏临界点计算的基本模型   设以P代表利润,V代表销量,SP代表单价、VC代表单位变动成本,FC代表固定成本,BE代表盈亏临界点,根据利润计算公式可求得盈亏临界点的基本模型为:   盈亏临界点的计算,可以采用实物和金额两种计算形式:   1.按实物单位计算:   其中,单位产 设某产品单位售价为10元,单位变动成本为6元,相关固定成本为8 000元,则盈亏临界点的销售量(实物单位)=8 000÷(10-6)=2 000(件)。品贡献毛益=单位产品销售收入-单位变动成本   2.按金额综合计算:盈亏临界点的销售量(用金额表现)=固定成本÷贡献毛益率   其中,贡献毛益率=贡献毛益/ 销售收入
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肆瓷莲7585
2013-01-11 · TA获得超过189个赞
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只要记住公式就简单得多了,把公式套进去就行。
公式是:
(1)一次有余(盈),一次不够(亏),可用公式:
  (盈+亏)÷(两次每份分配数的差)=平均分的份数
(2)两次都有余(盈),可用公式:
   (大盈-小盈)÷(两次每份分配数的差)=平均分的份数
(3)两次都不够(亏),可用公式:
   (大亏-小亏)÷(两次每份分配数的差)=平均分的份数
(4)一次不够(亏),另一次刚好分完,可用公式:
亏÷(两次每份分配数的差)=平均分的份数
(5)一次有余(盈),另一次刚好分完,可用公式:
盈÷(两次每份分配数的差)=平均分的份数
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待年导8568
2011-07-15 · TA获得超过7万个赞
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食堂采购员小李去买肉,如果买牛肉18千克,那么差4元;如果买猪肉20千克,那么多2元。已知牛肉、猪肉每千克差价8角,求牛肉、猪肉每千克各多少钱。
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