Question

一道矩阵题

设矩阵A=【 1 2 -3 的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似
-1 4 -3 对角化
1 a 5】

Answer 1

解: |A-λE| =
1-λ 2 -3
-1 4-λ -3
1 a 5-λ

r2-r1
1-λ 2 -3
-2+λ 2-λ 0
1 a 5-λ

c2+c1
1-λ 3-λ -3
-2+λ 0 0
1 a+1 5-λ

= (2-λ)[(3-λ)(5-λ)+3(a+1)]
= (2-λ)[λ^2-8λ+3a+18]

由已知, A的特征方程有一个二重根, 下分两种情况:
(1) 2是A的特征方程的二重根
则 2^2-8*2+3a+18 = 0.
得 a = -2.
此时, A-2E =
-1 2 -3
-1 2 -3
1 2 3
r(A-2E) = 1. 故此时A可对角化.

(2) 2是A的特征方程的单根
则 λ^2-8λ+3a+18 是一个完全平方
其判别式 (-8)^2 - 4(3a+18) = 0
得 a = -2/3
λ^2-8λ+3a+18 = (λ-4)^2
此时 4 是A的二重特征值.
A-4E =
-3 2 -3
-1 1 -3
1 -2/3 1
r(A-4E)>=2. 故此时A不能对角化.

若有更好的方法请消息我!

追问

恩恩

追答

第(1)个情况还需说明, 另一个特征值是 6 ( 2不是3重的! )

追问

明白