Question

在三角形ABC中，AC/AB＝cosB/cosC (1)证明B＝C （2）若cosA＝﹣1/3,求sin(4B+π/3)的值

Answer 1

由正弦定理，AC/AB=sinB/sinC=cosB/cosC，即sin(B-C)=0,所以B=C
B=90-A/2
cosA=-1/3 sinA=2sqrt(2)/3 cos2A=2(cosA)^2-1=2/9-1=-7/9 sin2A=2sinAcosA=4sqrt(2)/9
sin(4B+π/3)=sin(360-2A+π/3)=sin(π/3-2A)=sqrt(3)/2*cos2A-1/2*sin2A=sqrt(3)/2*(-7/9)-1/2*(4sqrt(2)/9)=-((2 Sqrt[2])/9) - 7/(6 Sqrt[3])

Answer 2

令边长BC=a，AC=b，AB=c（为以后表示方便，不至于与角度混淆）
(1)根据正弦定理，b/c=sinB/sinC
又因为b/c=cosB/cosC 所以sinB/sinC=cosB/cosC 即tanB=tanC
因为0<B,C<π 所以B=C
(2)因为B=C，所以b=c
根据余弦定理，得cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=-1/3,解得a^2=8*b^2/3.
cosB=（a^2+c^2-b^2)/(2bc)=√6/3 因为(sinA)^2+(cosA)^2=1 所以sinA=2√2/3,同理sinB=√3/3
sin2B=2sinBcosB=2√2/3,cos2B=(cosB)^2-(sinB)^2=1/3;
sin4B=2sin2Bcos2B=4√2/9,cos4B=(cos2B)^2-(sin2B)^2=-7/9
sin(4B+π/3)=sin4Bcos(π/3)+cos4Bsin(π/3)=2√2/9-7√3/18；
就是这个思路，你可以自己再算一下结果