Question

设a>0,函数f(x)=(ax+b)/(x^2+1)，b为常数。(1)证明：函数f(x)的极大值点和极小值

设a>0,函数f(x)=(ax+b)/(x^2+1)，b为常数。(1)证明：函数f(x)的极大值点和极小值点各有一个；（2）若函数f(x)的极大值为1，极小值为-1，试求a值。

Answer 1

解：
（1）证明如下：
对f(x)=(ax+b)/(x^2+1)求导，
f'(x)=[a*(x^2+1)-(ax+b)*2x]/(x^2+1)
=-a(x^2+2b/a*x-1)/(x^2+1)^2， ①
因为a>0，f'(x)的符号仅由x^2+2b/a*x-1的符号决定（与之相反）。
令f'(x)=0得：-a(x^2+2b/a*x-1)/(x^2+1)^2=0，
即，a(x^2+2b/a*x-1)=0，
x^2+2b/a*x-1=0， ②
该二次方程的判别式Δ=4(b/a)^2+4>0（恒为正），故必有两个实根。即二次函数x^2+2b/a*x-1必有两个零点，且在两个零点附近，该二次函数变号，且由二次函数的图像易知，两个零点附近符号变化相反（一个零点附件符号由正变负，另外一个零点附近符号符号由负变正）。故f'(x)有且仅有两个零点，两个零点附近符号变化相反，则f(x)在两个驻点处一个取极大值，一个取极小值。

（2）设方程②的解为：x1, x2, 且x1<x2。
(如果解方程②可得：x1=[-b-√(b^2+a^2)]/a，x2=[-b+√(b^2+a^2)]/a，但其实不需要解该方程，否则代入f(x1)=-1, f(x2)=1后计算会非常复杂。)
根据前面的分析，在x1附近，f'(x)由负变正，应取极小值；在x2附近，f'(x)由正变负，应取极大值。
令f(x1)=-1, 得(a*x1+b)/(x1^2+1)=-1，
(a*x1+b)+(x1^2+1)=0，
由于x1满足方程②，故x1^2=1-2b/a*x1，代入上式得：
a*x1+b+2-2b/a*x1=0， b+2=2b/a*x1-a*x1，
故x1=a(b+2)/(2b-a^2)。 ③

令f(x2)=1得，(a*x2+b)/(x2^2+1)=1，
(a*x2+b)-(x1^2+1)=0，
由于x2满足方程②，故x2^2=1-2b/a*x2，代入上式得：
a*x2+b-2+2b/a*x2=0， a*x2+2b/a*x2=2-b，
故x2=a(2-b)/(2b+a^2)。 ④
对方程②，由韦达定理，
x1+x2=-2b/a，
x1*x2=-1
把代入以上两式得：
2ab(a^2+4)/(a^4-4*b^2)=-2b/a, ⑤
a^2*(4-b^2)/(4b^2-a^4)=-1， ⑥
⑤化简为：
2b*a^2*(a^2+4)+2b(a^4-4*b^2)=0,
4b[a^4+2*a^2-2*b^2]=0，
b[a^4+2*a^2-2*b^2]=0， ⑦

⑥化简为：a^2*(4-b^2)+(4b^2-a^4)=0，
4a^2-a^2*b^2+4b^2-a^4=0，
(4a^2+4b^2)-(a^2*b^2+a^4)=0，
4(a^2+b^2)-a^2(b^2+a^2)=0，
(4-a^2)(b^2+a^2)=0， ⑧
又已知，a>0，故b^2+a^2≠0，则4-a^2=0，a=2（a>0）
把a=2代入⑦得：b[16+8-2*b^2]=0， ⑦
所以b=0或±2√3。

由于方程⑤⑥并非方程③④的充要条件，故还需代入验证。
当a=2，b=0时，由③④，x1=-1，x2=1，f(x1)=-1，f(x2)=1，符合要求；
当a=2，b=2√3时，由③④，x1=(√3+1)^2/2，x2=-(√3-1)^2/2，与假设x1<x2矛盾（且(x1)=√3-1，f(x2)=√3+1，也与已知条件矛盾），舍去；
当a=2，b=-2√3时，由③④，x1=(√3-1)^2/2，x2=-(√3+1)^2/2，与假设x1<x2矛盾（且f(x1)=-√3-1，f(x2)=1-√3，也与已知条件矛盾），舍去。

综上a=2，b=0即为所求。

Answer 2

先求导，令导函数为0，若该方程有不同的实根，则说明问1成立
由2知 1和-1为方程的根 可将一问中方程写为 （X-1）（X+1）=0 可得A=1