Question

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求最小的实数M,使得对所有实数a、b、c，有|ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)|<=M(a^2+b^2+c^2)^2成立。

Answer 1

我来解答了。首先不妨设 a≤b≤c
首先考虑一下因式分解：ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)=（a-c)(a-b)(b-c)(b+a+c)
至于怎么分解的我会在最后的补丁V1.0中告诉LZ
（a-c)(a-b)(b-c)(b+a+c)
考虑一下基本不等式吧 很容易得到：
（a-c)(a-b)(b-c)(b+a+c)≤[(a-c+a-b+b-c+b+a+c)/4]^4=[(b-c+3a)/4]^4
[(b-c+3a)/4]^4这个是正数哦，直接去掉绝对值。然后来看：
那么我们先来看看 [(b-c+3a)/4]^2 运用一下柯西不等式会得到什么吧。
[(b-c+3a)/4]^2≤(a^2+b^2+c^2)(1/16+1/16+9/16)=(a^2+b^2+c^2)*(11/16)
因为两边都是正数嘛，那就平方一下[(b-c+3a)/4]^4≤(a^2+b^2+c^2)^2*(121/256)
发现没有和上面的右边很像了吧。OK ，121/256≤M
M最小为121/256

补丁V1.0：ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ac(c^2-a^2)
=a³b-ab³+b³c-bc³+ac³-a³c
=(a³b-a³c)+(b³c-ab³)+(ac³+bc³)
=a³(b-c)+b³(c-a)+c³(a-b)
=-a³[(c-a)+(a-b)]+b³(c-a)+c³(a-b)
=-a³(c-a)-a³(a-b)+b³(c-a)+c³(a-b)
=(c-a)(b³-a³)+(a-b)(c³-a³)
=(c-a)(b-a)(b²+ab+a²)+(a-b)(c-a)(c²+ac+a²)
=(c-a)(b-a)(b²+ab+a²)-(b-a)(c-a)(c²+ac+a²)
=(c-a)(b-a)(b²+ab+a²-c²-ac-a²)
=(c-a)(b-a)(b²+ab-c²-ac)
=(c-a)(b-a)[(b+c)(b-c)+a(b-c)]
=(c-a)(b-a)(b-c)(b+c+a)
=（a-c)(a-b)(b-c)(b+a+c)

Mathache很高兴为你解答。完毕。望采纳。

Answer 2

其实你自己思考思考就能做出来的。加油！加油！