Question

函数f(x)=-(x-1)^2 (x小于1) f(x)=(3-a)x+4a (x大于等于1)

满足对任意x1,x2都有[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)>0成立,则a的取值范围是

Answer 1

∵对任意x1,x2都有[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)>0成立
∴f(x)于R上单调递增
x<1时，f '(x)=-2(x-1)=-2x+2
令f '(x)>0，得x<1，成立
x≥1时，f '(x)=3-a
令f '(x)>0，得a<3
f(1)=3-a+4a=3a+3
再将x=1代入f(x)=-(x-1)²得，f(1)=0
∴3a+3≥0，解得a≥-1
综上，a∈(-1,3)

追问

f(1)=3-a+4a=3a+3
再将x=1代入f(x)=-(x-1)²得，f(1)=0
∴3a+3≥0，解得a≥-1
这几步不理解

追答

我画个简图出来你看啊（只是大致走势而已，真实图象是否为直线或者曲线不做讨论）
空心小圆表示该点取不到，实心表示可以取到
我们以x=1为分界线
x≥1的部分要保证全部都在x<1的部分上方
∴需保证x≥1时的最小值大于x<1时的最大值
虽然f(x)=-(x-1)^2 (x<1)不可以取到x=1，但我们仍然可以代进去检验

Answer 2

∵对任意x1,x2都有[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)>0成立
∴f(x)于R上单调递增
x<1时，f
'(x)=-2(x-1)=-2x+2
令f
'(x)>0，得x<1，成立
x≥1时，f
'(x)=3-a
令f
'(x)>0，得a<3
f(1)=3-a+4a=3a+3
再将x=1代入f(x)=-(x-1)²得，f(1)=0
∴3a+3≥0，解得a≥-1
综上，a∈(-1,3)

Answer 3

（-1,3）理由：根据图像，不解释。