Question

函数f(x)=(x-3)/(x+a-2)在（-1，正无穷）上单调递增，求a的取值范围

Answer 1

f(x)=1+(-3-a+2)/(x+a-2)=1-(a+1)/(x+a-2)

{-1+a-2>=0
{a+1>0

a>=3

追问

{-1+a-2>=0
{a+1>0
这是什么原理呀？

追答

反比例函数 y=k/x 单调性。

追问

f(x)=1+(-3-a+2)/(x+a-2)=1-(a+1)/(x+a-2)=-(a+1)/(x+a-2)+1,要想单调递增得在二四象限，所以-（a+1）＜0，a+1＞0.这个我懂了，-1+a-2>=0还是不懂。为什么把第四象限的舍了呢？

追答

要求函数在（-1，+无穷）上一直有定义，所以其渐近线x=2-a(就是使分母为0的x，对y=k/x来说，就是x=0)必在-1的左侧，也就是2-a=0

Answer 2

f(x)=1+(-3-a+2)/(x+a-2)=1-(a+1)/(x+a-2)
求导得f'(x)=(a+1)/(x+a-2)^2
f(x)增函数，∴a+1>0且x+a-2≠0，即a>-1且x≠2-a
当a>-1时，2-a<3，可能包含于x的定义域(-1,+∞)
当x->2-a时，f(x)->-∞，f'(x)->+∞，故f(x)在x=2-a前后不可能单调性一致，即不可能在(-1,+∞)上单调递增
欲使f(x)在x∈(-1,+∞)上单调递增，必使2-a≤-1，即a≥3
∴a的取值范围为a≥3