在三角形ABC中，已知角ABC的对边为abc,若sin²A+cosA=四分之五，b+c=根号3 a，求A,B,C的大小？
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∵sin²A+cosA=5/4
∴1-cos²A+cosA=5/4
解得cosA=1/2
∴∠A=60°
∵a²=b²+c²-2bc cosA=b²+c²-bc
∵b+c=√3 a ①
∴(b+c)²/3==b²+c²-bc
∴b=2c或c=2b ②
由①②得
c/a=√3/3或b/a=√3/3
当b=2c时
∵sinC/sinA=c/a=√3/3
∴sinC=√3/3 sinA=1/2
∴∠C=30° (∠A=150°舍去）
∴∠B=90°
当b/a=√3/3时
∠B=30° ∠C=90°
A、B、C的大小分别是60° 30° 90°或60° 90° 30°
∴1-cos²A+cosA=5/4
解得cosA=1/2
∴∠A=60°
∵a²=b²+c²-2bc cosA=b²+c²-bc
∵b+c=√3 a ①
∴(b+c)²/3==b²+c²-bc
∴b=2c或c=2b ②
由①②得
c/a=√3/3或b/a=√3/3
当b=2c时
∵sinC/sinA=c/a=√3/3
∴sinC=√3/3 sinA=1/2
∴∠C=30° (∠A=150°舍去）
∴∠B=90°
当b/a=√3/3时
∠B=30° ∠C=90°
A、B、C的大小分别是60° 30° 90°或60° 90° 30°
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