Question

求解一元二次不等式

已知f(x)=x²+2(a-2)x+4
1)如果对于一切x∈R，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围
2）如果对于x∈[-3,1],f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围
求详解……

Answer 1

解①
f(x)=x²+2(a-2)x+4有f(x)>0恒成立时，
有（2(a-2)）²-4×4×1＜0
（2(a-2)）²＜16
解得0＜a＜4
②对于x∈[-3,1],f(x)>0恒成立，
求导函数
f’(x)=2x+2(a-2)
当x=2-a时有最值
当x＜2-a时f’(x)＜0，原函数单调递增
当x＞2-a时f’(x)＞0，原函数单调递减
所以当x=2-a时有最小值
讨论
1；当2-a∈[-3,1]时，a∈[1,5]，
f(2-a)=(a-2)²-2(a-2)²+4>0
解得0＜a＜4
2；当2-a＜-3时5＜a
函数在[-3,1]上最小值为f(-3)=9-6（a-2）+4＞0
解得25/6＞a与5＜a矛盾
3；2-a＞1时，a＜1
函数在[-3,1]上最小值为f(1)=1+2（a-2）+4＞0
解得-0.5＜a
所以-0.5＜a＜1
综上所诉，
-0.5＜a＜4