Question

若定义域为R的二次函数f(x)的最小值为0，且有f(1+x)=f(1-x),直线g(x)=4(x-1)被f(x)的图像…

截得的线段长为4根号17，则函数f(x)的解析式为？？
望各位帮帮忙~谢谢

Answer 1

直接设f(x)=ax²+bx+c
f(1+x)=f(1-x) 可知对称轴为x=-b/2a=1 得b=-2a
f(x)的最小值为0 可知开口向上a＞0 △=b²-4ac=0 结合b=-2a 得c=a
所以f(x)=ax²-2ax+a
ax²-2ax+a =4(x-1) 即ax²-（2a+4）x+a+4=0
伟大定理 x1+x2=（2a+4）/a x1x2=(a+4)/a
直线g(x)=4(x-1)被f(x)的图像截得的线段长为4根号17,,所以有|x1-x2|=4
|x1-x2|²=（x1-x2）²=（x1+x2）²-4x1x2=[（2a+4）/a]²-4(a+4)/a=16
解得a=1 或者a=-1 由于a＞0 所以最后a=1

Answer 2

二次函数关于x=1对称 并且二次函数f(x)的最小值为0
所以 设y=a(x-1)^2 (a>0)
g(x)=4(x-1)
两个方程联立得 （1,0） ｛（a+4)/a，16/a}
线段长为4根号17 所以｛（a+4)/a-1｝^2+(16/a)^2=（4根号17）^2
得到 a^2=1 因为a>0
所以a=1
f(x)=(x-1)^2

Answer 3

过程：由f(1+x)=f(1-x),可知f（x）的图像关于x=1对称，最小值为0，故经过（1,0）设二次函数的解析式为f(x)=a（x-1)^2,联立f（x）和g(x)消去y可得ax^2-（2a+4）x+a+4=0，设两个交点坐标为（x1,y1)，（x2,y2)，则x1+x2=（2a+4）/a，x1*x2=4/a，由弦长公式可知：根号（1+16）*根号[（x1+x2)^2-4x1*x2]=4根号17，解得a^2=4/3,a=正负3分之2根号3.