Question

函数定义域问题

（1）已知F（X）的定义域为[-1.1]，求F（1-3X）+F（2-2X）的定义域，我知道怎么求，在这里我想问一下，-1 ≤1-3x≤1怎么得到0≤x≤2/3的详细过程。-1≤2-2x≤1是怎么样得到1/2≤x≤2/3的，F（1-3X）+F（2-2X）的定义域为什么是1/2≤x≤2/3，而不是[0,2/3]，这里应该是并集。为什么答案给的是交集。（2）下面4个为奇函数的是y=1og3x,y=3x,y=3x2,y=3sinx（其中3X是3的X次方，3X2是3X的平方），我知道判断奇偶函数的公式是什么f(-x)=-f(x)是奇函数。但书上说第一步先要检查定义域是否对称，通过数轴来表示，如果关于原点对称，则该定义域就是对称的。那么请间y=3x和y=3x2这两个函数的定义域是多少？原点对称是个什么概念？书上写的是X属于R就是对称的！还有函数中分数中母不能为0这些我都理解了，麻烦大侠门说得通俗一点，太书面了理解不了！
2X+1大于0小于1，怎么求得X大于1小于3的？比如f(x+1）定义域（1，2），求f(x)定义域。这种我就能求出来，是这样求的嘛？1＜X＜2,∴2＜X＋1＜3，当X+1代入进来时，是不是1＜X＜2在左右两边同时加上1，就得出f(X）定义域？（2）中又看了一些资料对称性的资料，在数轴上过原点且与数轴垂直的直数为对称轴，两个数为相反数，像3和-3，用图怎么表示，和CAD绘图中X轴和Y轴的性质一样嘛？

Answer 1

（1）已知F（X）的定义域为[-1.1]，求F（1-3X）+F（2-2X）的定义域，我知道怎么求，在这里我想问一下，-1 ≤1-3x≤1怎么得到0≤x≤2/3的详细过程。-1≤2-2x≤1是怎么样得到1/2≤x≤2/3的，F（1-3X）+F（2-2X）的定义域为什么是1/2≤x≤2/3，而不是[0,2/3]，这里应该是并集。为什么答案给的是交集.
解：-1≦1-3x≦1，将中间的1向左向右移，得-1-1≦-3x≦1-1，即-2≦-3x≦0，再都乘以-1，同时
不等号反向得2≧3x≧0，照顾习惯，反过来写，就是 0≦3x≦2，再都除以3即得0≦x≦2/3.
过程同上：-1≦2-2x≦1，-3≦-2x≦-1，3≧2x≧1，1≦2x≦3，1/3≦x≦3/2.
（2）下面4个为奇函数的是y=1og‹3›x,y=3^x,y=3x²,y=3sinx，我知道判断奇偶函数的公式是什么
f(-x)=-f(x)是奇函数。但书上说第一步先要检查定义域是否对称，通过数轴来表示，如果关于原点对称，则该定义域就是对称的。那么请间y=3^x和y=3x²这两个函数的定义域是多少？原点对称是个什么概念？书上写的是X属于R就是对称的！还有函数中分数中母不能为0这些我都理解了，麻烦大侠门说得通俗一点，太书面了理解不了！
解：y=1og‹3›x，y=3^x，y=3x²，y=3sinx只有y=3sinx是奇函数。因为其定义域是R，关于原点对称，且3sin(-x)=-3sinx.
y=3^x的定义域是R；y=3x²的定义域也是R；即都是x∈(-∞，+∞）。
在数轴上，点-3与点3就关于原点对称；区间(-4，-3）与区间（3，4）也关于原点对称；
区间[-100，100]就是一个关于原点对称的区间；对称不明白？人就是一个左右对称的动物。
偶函数的图像关于y轴对称；奇函数的图像关于原点对称；既然图像对称，那么定义域关于原点
对称就是函数具有奇偶性的必要条件。一般初学者只注意f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)这一判别方法，而
把函数具有奇偶性的必要条件：“定义域关于原点对称”丢到脑后！但定义域关于原点对称只是
函数具有奇偶性的必要条件，不是充分条件，如y=3^x的定义域是R，关于原点对称，但它没有奇
偶性。

追问

就是想知道，y=3^x，y=3x²，y=3sinx为什么它的定义域R，而y=1og‹3›x就不是，如何判定的？对称我明白，必要条件和充分条件我也明白。数轴是不是可以这样理解，一条直线为X轴，一条垂直的线为Y轴，X轴和Y轴相交的点称为原点就是（0，0）。是不是函数的定义域是R，不管它是关于Y轴或原点对称，它都是对称的？就可以进行下一步奇偶性的判定？

追答

你可能对一些基本初等函数（线性函数，二次函数，指数函数，幂函数，对数函数，
三角函数，反三角函数)的性质和特点似乎没有掌握。
y=3^x是指数函数，对任何x，指数函数都有定义，即对(-∞，+∞）内的任何实数，该函数都有意义，故其定义域为全体实数；
y=3x²是二次函数，同样队任何x都有定义，故其定义域也是R。
y=3sinx是三角函数，同样地，x∈R.
Y=log₃x是对数函数，在初中就学过：以正数为底，负数和零没有对数，即对数函数的定义域是x>0；定义域任何判定？首先要熟练掌握基本初等函数的性质，图像，特点，这里包括定义域，值域。然后注意几点：分式的分母不能为0，负数不能开偶数次方，比较复杂的是幂函数，即y=x^μ，其中μ为有理数，μ=q/p，p，q为整数，q/p为既约分数。因字数有限制，在这里不能细讲；如果μ是无理数，y=x^μ的定义域反而比较简单，那就是x≧0.
所谓定义域是指自变量的变化范围，一般是指x的变化范围；函数即y的变化范围是值域。你最后一句话“是不是函数的定义域是R，不管它是关于Y轴或原点对称，它都是对称的？”有毛病，前面说了，定义域是指x的取值范围，如果定义域是R，即-∞<x<+∞，那当然关于原点对称；但关于原点对称的定义域，不一定都是R，比如，[-100，100]就关于原点对称。

Answer 2

第一问，你问的是不等式的解法吧。这个建议你多看看解不等式的内容。就本题而言，详细过程是：-1 ≤1-3x≤1，-2 ≤-3x≤0，0≤x≤2/3。如果你还是觉得难以理解，可以把此不等式拆成两部分：-1 ≤1-3x和1-3x≤1，分别解出来再合并。
至于为什么是交集，因为F（1-3X）+F（2-2X）的定义域必须同时满足前后两个F都有定义，注意，是都有，所以必须前后F都成立，即x要满足前一个定义条件也要满足后一个F的定义条件。所以是交集。如果你觉得缺乏概念，可以用F=（x的开方）这种简单函数来实际操作一下。
第二问，y=3x和y=3x2定义域都是R，所以是关于原点对称的。原点对称指的是定义域画在数轴上，关于原点对称。比如（-3,3），[-5,5]就是关于原点对称。
后面的补充问题真没看明白。。要不你再单独提一下吧。一般说来问题一次提的太多太乱，让人很没回答欲望的。

Answer 3

抽象函数定义域的问题一定要从根本上弄明白，通常而言定义域是指的使得这个函数有意义的自变量的所有值所组成的集合，而如何判断这个函数是否有意义，往往是由