Question

初二（1）是否存在正整数m,n使m(m+2)=n(n+1) （2）设k(k≥3）是给定的正整数，是否存在m,n使m(m+k)=n(n+1)

Answer 1

由已知等式得：
(m²-n²)+(m-n)=-m
(m+n)(m-n)+(m-n)=-m
(m+n+1)(m-n)=-m
(m+n+1)(n-m)=m
由于m、n都是正整数，所以由上式知：(n-m)≥1，即：n≥m+1，
所以：m=(m+n+1)(n-m)≥m+n+1，
可得：n+1≤0，显然不成立；
所以满足m(m+2)=n(n+1)的正整数解不存在；

同理可得：(m+n+1)(n-m)=(k-1)m
由于k≥3，所以可得：n-m>0，即：n>m，n/m>1，
则有：n/m=(m+k)/(n+1)>1，
所以：m+k>n+1，
因此：m<n<n+1<m+k，则m<n<m+k；
由上可知，从m到m+k之间的正整数有k-1个，

但当k=3时，则：m<n<m+3，那么有两种情况：n=m+1，n=m+2，分别代入①式，有：
n=m+1时，得到：2m+2=2m，显然这是不成立的；
n=m+2时，得到：2(2m+3)=2m，显然这也是不成立的；
因此，当k=3时，是不存在正整数解的；

但当k≥4时，由m<n<m+k知，n的取值是从m+1到m+k-1，即：m+1≤n≤m+k-1，不妨设n=m+b，b代表从1到k-1之间的正整数，代入①式，得：
b(2m+b+1)=(k-1)m
解得：m=(b²+b)/(k-1-2b)，
则k-1-2b≥1，得：b≤(k-2)/2，
所以b的取值范围是：1≤b≤(k-2)/2，

例如：取k=4，则1≤b≤1，则有
b=1时，m=2/(3-2)=2，此时n=2+1=3，

当k=3时，是不存在正整数解的，但只要是k≥4，就一定存在正整数m、n，使得m(m+k)=n(n+1)成立。

Answer 2

（1）不存在：式子展开得m^2-n^2=n-2m,m和n都是正整数，那么
1、如果m>n那么左边为正数，右边为负数
2、如果m<n同样左边和右边的正负相反。
（2）很简单，假设m=1，n=2，那么算出K=5≥3满足题目条件，所以存在这种m、n