Question

高中数列题分组转化求和和与公式法求和，求详解。

已知函数f(x)=2^x-3x-1,点(n,an)在f(x)的图象上,an的前n项和为Sn。
①求使an＜0的n的最大值；
②求Sn

Answer 1

a(n)=2^n - 3n-1
s(n)=[2+2^2+...+2^n] - 3[1+2+...+n] - n = 2[2^n-1]/(2-1) -3n(n+1)/2 - n = 2^(n+1) -2-n - 3n(n+1)/2
0>a(n)=2^n-3n-1,
a(1)=2-3-1<0,
a(2)=2^2-6-1<0
a(3)=2^3-9-1<0
a(4)=2^4-12-1>0
n>=4时, a(n)=2^n-3n-1, a(n+1)=2^(n+1)-3(n+1)-1,
a(n+1)-a(n)=2^n-3>=2^4-3>0, a(n)>=a(4)>0.
因此, a(n)<0的n的最大值为3.