Question

嘿，又有题目了。求圆心在直线x-y-4=0上，且经过圆x^2+y^2+6x-4=0于圆x^2+y^2+6y-28=0的交点的圆的方程

补充题：求直线L:3x-y-6=0被圆C：x^2+y^2-2x-4y=0截得的弦AB的长

Answer 1

两种方法：
1.【最通常的方法】
因为，
x²+y²+6x-4=0
x²+y²+6y-28=0
有两式相减可得两圆交线：y=x+4
代入得x²+7x+6=0
所以，两圆交点横坐标为x1=-1,x2=-6
所以，两圆交点(-1,3)，(-6,-2)
所以，解得垂直平分线方程为y=-x-3
与x-y-4=0联立得
圆心为(1/2,-7/2)
半径为r=√[(1/2+1)²+(-7/2-3)²]=√178/2
所以，(x-1/2)²+(y+7/2)²=178/4
即x²+y²-x+7y-32=0

2【高级点的方法】
经过两圆x²+y²+6x-4=0和x²+y²+6y-28=0的圆系方程为
x²+y²+6x-4+λ(x²+y²+6y-28)=0（不包括x²+y²+6y-28=0）
整理得到(1+λ)x²+(1+λ)y²+6x+6λy-4-28λ=0
圆心坐标为(-3/(1+λ),-3λ/(1+λ))
所以，圆心在直线x-y-4=0
即-3/(1+λ)+3λ/(1+λ)-4=0
λ=-7
所以，代入圆系方程x²+y²-x+7y-32=0

补充：
【解一】
将3x-y-6=0代入圆方程C：x²+y²-2x-4y=0
得x²-5x+6=0
所以，x1=2，x2=3
所以|P1P2|=√(1²+3²)*|3-2|=√10

【解二】
(x-1)²+(y-2)²=5，半径r=√5
直线是3x-y-6=0
圆心与直线距离d=|3*1-1*2-6|/√(3²+1²)=√10/2
弦长AB=2√(r²-d²)=√10

【不好意思，今天外出打工，现在才看到题】

Answer 2

求圆心在直线x-y-4=0上，且经过圆x^2+y^2+6x-4=0于圆x^2+y^2+6y-28=0的交点的圆的方程
解：
设经过两圆x²+y²+6x-4=0和x²+y²+6y-28=0
交点的圆的方程为x²+y²+6x-4+λ(x²+y²+6y-28)=0
即(1+λ)x²+(1+λ)y²+6x+6λy-4-28λ=0
其圆心的坐标是(-3/(1+λ)，-3λ/(1+λ) )
∵圆心在直线x-y-4=0上
∴有3/(1+λ)-3λ(1+λ)+4=0，解得λ=-7
∴所求的圆的方程为x²+y²+6x-4-7(x²+y²+6y-28)=0
即x²+y²-x+7y-32=0

补充题：求直线L:3x-y-6=0被圆C：x^2+y^2-2x-4y=0截得的弦AB的长
圆C
(x-1)²+(y-2)²=5
圆心C(1,2)，半径r=√5

直线是3x-y-6=0
则弦心距d=|3-2-6|/√(3²+1²)=5/√10
所以弦长AB=2√(r²-d²)=√10

Answer 3

经过圆x^2+y^2+6x-4=0于圆x^2+y^2+6y-28=0的交点的圆方程可设为[x^2+y^2+6x-4]+A[x^2+y^2+6y-28]=0,圆心为(-6/[2（1+A）]，-6A/[2（1+A）]).又圆心在直线x-y-4=0上，代入解得A=-7.因此所求圆的方程为[x^2+y^2+6x-4]-7[x^2+y^2+6y-28]=0即为6x^2+6y^2-6x+42y-192=0
补充：圆C：x^2+y^2-2x-4y=0其圆心为（1,2）半径的平方为r^2=5。圆心到直线L:3x-y-6=0的距离为平方为d^2=5/2,由小三角r^2=d^2+（AB/2）^2得（AB/2）^2=5/2，AB=根号10