Question

高中数学问题(三角函数)

已知函数f(x)=Asin(wx+∮）（A＞0，0＜w≤2,0<∮<π)在R上是偶函数，其图象过M（0，2），且关于点N（3π/4，0）对称，且在区间[0，π]上是单调减函数，求f(x)解析式。
我已经算出来了A=2，就是f(x)=2coswx，然后他说关于（3π/4，0）对称，因为这是余弦函数，所以这个对称点应该一定是在图像上的，然后直接那他带进去解出W就是了，可是答案上给的好复杂，他先利用偶函数f（-x）=f(x)得到sinwxcoswx=0,所以cos∮=0,然后算出∮=π/2
然后下面这一步我jiu7不明白了，他说因为f(x)=2coswx图像关于（3π/4，0）对称，可得f(3π/4-x)+f(3π/4+x)=0。请问这是得来的？是不是有什么公式？可是我只知道如果一条曲线关于一个点对称的话，比如：曲线f(x,y)=0关于点（a,b）对称，则f(x)+f(2a-x)=2b，这带进去也不对啊
求大侠来帮帮忙，我头疼死了，好的我加分
==，我开始时说的那种方法对吗？如果不对，那错在哪里？

Answer 1

有结论：
曲线y=f(x)关于点（a,b）对称，则f(a+x)+f(a-x)=2b
你的做法也是正确的！
偶函数关于y轴对称，因y轴的方程为x=0
可以理解成已知这个函数的一条对称轴为x=0
将x=0代入函数式，函数应该取最大值或最小值，即sin(∮）=±1可得∮值
关于点N（3π/4，0）对称，点在曲线上，x=3π/4点代入函数值为0，马上可得结论
通常正规的解法：
偶函数用f（-x）=f(x)
关于（a,b）对称， 用f(a+x)+f(a-x)=2b
而以上简单的解法也是可以用的，不太规范，但不扣分！

Answer 2

f(3π/4-x)+f(3π/4+x)=0
可以看作以3π/4为中心，画出一个标准偶函数，3π/4正好在右侧一零点，这时可以把x看做某一常数，
即3π/4向左加了一个x单位，向右加了一个x单位，由于3π/4是对称点，加减X完后的函数值正好相加为零且关于3π/4对称。
其实要解这道题不用这么复杂，
f(x)=2coswx关于（3π/4，0）对称，0＜w≤2
就成了cos(3π/4*w)=0,利用0＜w≤2，在区间[0，π]上是单调减函数,w=3/2

追问

你怎么知道是关于x=3π/4对称的？他不可以是奇函数关于（3π/4，0）这一点对称的吗？如果是这样的话，那不就成了f(3π/4-x)= - f(3π/4+x)了吗

追答

f(x)=2coswx是关于（3π/4，0）这一点对称,
题目上看，已经给的是偶函数了
f(x)是偶函数，但f(x+3π/4)变成了奇函数,向左平移了，这要结合图像来看

Answer 3

由题知 A=2 T= 所以T=
因为该函数图象过（0，2）代入函数解析式 中得
又因 所以
所以
y=2sin(2x/3+π/2)