Question

过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P(0,m),(m>0)作直线L，L与抛物线交于A，B两点

1.若∠AOB为钝角，（O为坐标原点）求m的取值范围
2.若P为抛物线的焦点，过P且与L垂直的直线L1与抛物线交与CD两点，设AB，CD中点分别为MN，求证：直线MN必过定点。

Answer 1

解：1、由题意设A（c,c^2/4) B(d,d^2/4)
|AB|^2=(c-d)^2+(c^2/4-d^2/4)^2
|OA|^2=c^2+c^4/16
|OB|^2=d^2+d^4/16
|OA|^2+|OB|^2-|AB|^2==c^2+c^4/16+d^2+d^4/16-(c-d)^2-(c^2/4-d^2/4)^2=2cd+c^2d^2/8
又A。B在直线L上，L：y=kx+m
c^2/4=ck+m
d^2/4=kd+m
把cd看作方程x^2-4kx-4m=0两根,k^2+4m>0
求得cd=-4m，c+d=4k,代入上式，
|OA|^2+|OB|^2-|AB|^2=-8m+2m^2<0(m>0)
即m^2-4m<0
0<m<4
2、AB的中点M为(2k,2k+m)
L1的直线为y=-1/kx+1
设C(e,e^2/4) D(f,f^2/4),
N(-2/k,1-2/k)
求得MN直线为y={(m-1)/(2k+2/k)]+1}x+m-2k(m-1)/(2k+2/k)
化简y=[(m-1)/2k+2/k)+1](x+2)-1
无论k取何值时，直线MN都过点(-2,-1)