Question

设随机变量x的分布函数f(x)连续，求随机变量F（x）的概率密度函数！！！很急！请大家帮忙呀！！！

答案我有，但是不理解，答案如下：
设Y=F(X)
当y<0时，FY(y)=P{Y<=y}=P{F(X)<=y}=0;
当0=<y<=1时，FY(y)=P{Y<=y}=P{F(X)<=y}=P{x<=F-1(y)}=F[F-1(Y)]=y;
当1<y时，FY(y)=P{Y<=y}=P{F(X)<=y}=P{S}=1
所以，有
fY(y)=FY'(y)=1(0=<y<=1时)及0（其他）
麻烦大家帮我看看解答，为什么要分段？原函数分布是抽象的呀，怎么知道该0,1分段呢？

Answer 1

F(X)是一个分布函数，值域在0~1之间。

所以随机变量Y也要取0~1之间的数字。

当y<0时，FY(y)=P{Y<=y}=P{F(X)<=y}=0(其实就是，Y取不到小于0的数字，(Y小于0的概率)为0)。

当0=<y<=1时，FY(y)=P{Y<=y}

(由于Y~F(X)})

=P{F(X)<=y}

同取反函数，由于F(X)是单调递增，不变号。

=P{F-1[F(X)]<=F-1(y)]}

=P{X<=F-1(y)}

带入X的分布函数 分布函数性质，P(X<=k)=F(k)。

=F[F-1(y)]

=y

在做实验时

常常是相对于试验结果本身而言，我们主要还是对结果的某些函数感兴趣。例如，在掷骰子时，我们常常关心的是两颗骰子的点和数，而并不真正关心其实际结果，就是说，我们关心的也许是其点和数为7。

而并不关心其实际结果是否是（1，6）或（2，5）或（3，4）或（4，3）或（5，2）或（6，1）。我们关注的这些量，或者更形式的说，这些定义在样本空间上的实值函数，称为随机变量。

Answer 2

因为Y~F(X)
F(X)是一个分布函数，值域在0~1之间
所以随机变量Y也要取0~1之间的数字
当y<0时，FY(y)=P{Y<=y}=P{F(X)<=y}=0(其实就是，Y取不到小于0的数字，(Y小于0的概率)为0);

当0=<y<=1时，FY(y)=P{Y<=y}
(由于Y~F(X)})
=P{F(X)<=y}
同取反函数，由于F(X)是单调递增，不变号
=P{F-1[F(X)]<=F-1(y)]}
=P{X<=F-1(y)}
带入X的分布函数 分布函数性质，P(X<=k)=F(k)
=F[F-1(y)]
=y

当1>y时，FY(y)=P{Y<=y}=P{F(X)<=y}=P{S}=1 [Y不可能取到大于1的数字，fY(y)=0，密度没了，FY(y)就不会继续增长一直保持为F(1)的值=1]

Answer 3

概率就是从0到1的呀，哥们