Question

已知函数f(x)=-x^2/2+x+6在区间[m,n]上的值域是[2m-2,2n-2],求m,n的值

Answer 1

f(x)=-1/2x^2+x+6=-1/2(x-1)^2+13/2，函数对称轴是x=1
当1∈[m,n]时，可知2n-2=f(1)=13/2,n=17/4。
f(m)=-1/2m^2+m+6=2m-2或f(n)=-1/2n^2+n+6=2m-2
解上述式子得：m=-1-√17或-1+√17或103/64
但当m=-1+√17和103/64(都大于1)时，1不属于[m,n]，与题设矛盾，舍去。故：m=-1-√17.
当1<=m<n时，f(m)=2m-2，f(n)=2n-2，分别解得：m和n=-1-√17或-1+√17，与题设矛盾。
当m<n<=1时，f(m)=2n-2，f(n)=2m-2，解得：m=2，n=4，也不符合题设。
综上，m=-1-√17,n=17/4

追问

当m<n<=1时，f(m)=2n-2，f(n)=2m-2，解得：m=2，n=4，也不符合题设。
为什么？不是可以吗？
当1<=m<n时，f(m)=2m-2，f(n)=2n-2，分别解得：m和n=-1-√17或-1+√17，与题设矛盾。
m n能否相等？
其他应该都对

追答

当m1，不是与前提矛盾了吗？
当1<=m<n时，算出m,n值能大于1的只有-1+√17，但m,n不能相等，因为作为m，n一个区间的上下限，要满足m<n。【注】这里多说一句如果m=n，区间[m,n]就变成了一个点，相应的值域也变成了一个值，这种情况本身可以存在，只是区间[m,n]已不再是区间，而变成了一个点。

追问

你把m=2,n=4带入验证一下，可以的。
那是因为f(x)在[1,+无穷大]是减函数
当1<=m<n时，f(m)=2m-2，f(n)=2n-2，分别解得：m和n=-1-√17或-1+√17，与题设矛盾。
当m<n<=1时，f(m)=2n-2，f(n)=2m-2，解得：m=2，n=4，也不符合题设。
你把上下范围弄反了

追答

不好意思，真的弄反了，m=2，n=4是可以的，只是第二种情况不可以，m，n不能相等。