Question

已知函数f(x)=x^2-bx+c瞒足f(0)=3,对任意实数x都有f(x)=f(2-x),试判断f(b^x)与f(c^x)的大小关系

Answer 1

由 f(0)=0^2-b*0+c=3 得到c=3
由题意 f(x)=x^2-bx+c
f(2-x)=（2-x）^2-b（2-x）+c
因为 f(x)=f(2-x)
所以 x^2-bx+c =（2-x）^2-b（2-x）+c
化简得到 -bx=(4-2b)+(b-4)x
对任意实数x都有f(x)=f(2-x),则有
-b=b-4,4-2b=0
得到b=2
所以函数f(x)=x^2-2x+3=（x-1）^2+2 在(1,正无穷)为增函数，在(负无穷，1)为减函数，在x=1处有最小值f(1)=2。
所以f(b^x)=f(2^x)，f(c^x)=f(3^x)
当x>0时3^x>2^x>1,所以f(b^x)<f(c^x)
当x<0时3^x<2^x<1,所以f(b^x)>f(c^x)
当x=0时3^x=2^x=1,所以f(b^x)=f(c^x)

Answer 2

∵f(x)=x²-bx+c瞒足f(0)=3
∴f(0)=c=3
∵对任意实数x都有f(x)=f(2-x)
∴x²-bx+c=(2-x)²-b(2-x)+c
即x²-bx=4-4x+x²-2b+bx
整理解得：b=2
∴f(x)=x²-2x+3
∴b^x-c^x=2^x-3^x
∴当x<0时，b^x>c^x
当x=0时，b^x=c^x
当x>0时，b^x<c^x