Question

已知abc为正数,求证根号a2+b2+根号b2+c2+根号c2+a2大于根号2(a+b+c)

Answer 1

2(a²+b²)>=a²+b²+2*a*b=(a+b)²
a²+b²>=(a+b)²/2
√(a²+b²)>=√[(a+b)²/2]=(a+b)/√2
同理
√(b²+c²)>=(b+c)/√2
√(a²+c²)>=(a+c)/√2
所以
√(a²+b²)+√(b²+c²)+√(a²+c²)>=(a+b)/√2+(b+c)/√2+(a+c)/√2=2(a+b+c)/√2=√2(a+b+c)
得证
注意a=b=c时可以去等号的，所以应该是大于等于

Answer 2

将求证式两边平方得：(a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(c^2+a^2)+2√[(a^2+b^2)(b^2+c^2)]+2√[(a^2+b^2)(c^2+a^2)]+√[(b^2+c^2)(c^2+a^2)]>2(a+b+c)^2
由柯西不等式有：(a^2+b^2)(b^2+c^2)>=(ab+bc)^2，当且仅当a/b=b/c时取等号。
同理，(a^2+b^2)(c^2+a^2)>=(ac+ab)^2，(b^2+c^2)(c^2+a^2)>=(bc+ac)^2
于是，求证式左边>=2(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc)+2(ac+ab)+2(bc+ac)=2(a+b+c)^2
取等号的条件是，a/b=b/c=c/a成立，即a=b=c。
故此：式子得证。【注：跟原式不同大于变成了大于等于号；另外，柯西不等式是高二的数学内容，不明白的可以问，若看书，一看就明白。】