Question

如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点P,Q分别是AB,AC上的动点，且满足BP=AQ,D是BC的中点。（1）求证

PDQ是等腰直角三角形；（2）当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，说明理由

Answer 1

1）证明：CQ=AC-AQ，AP=AB-BP，∵AC=AB，∴CQ=AP，
△CDQ和△ADP中，CQ=AP、∠C=∠DAP=45°、顷余CD=AD，
△CDQ≌△ADP，∠CQD=∠APD，
四边形APDQ内接于圆，
∠PDQ=∠PAQ=Rt∠
2）解：当P是AB中点时，四边形APDQ是正方形，
∵DP⊥AB、DQ⊥AC、又PD⊥DQ，雀毕滚∴数茄四边形APDQ是矩形，
∵AP=AQ，∴矩形APDQ是正方形。

Answer 2

(1)∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点

∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠DAQ=∠B

又∵BP=AQ

∴△BPD≌△AQD

∴PD=QD，∠ADQ=∠BDP

∵∠BDP+∠ADP=90°

∴∠ADQ+∠ADP=∠PDQ=90°

∴△PDQ为等腰直角三角形

（2）早迅当陆物此P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形

由（1）知△ABD为等腰直角三角形

当P为AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD=90°

又∵∠A=90°，∠PDQ=90°

∴四边形APDQ为矩形

又∵DP=AP=AB

∴四边蚂庆形APDQ为正方形

Answer 3

1）证明：CQ=AC-AQ，AP=AB-BP，
∵AC=AB，
∴CQ=AP，
△CDQ和△ADP中，CQ=AP、∠C=∠DAP=45°、CD=AD，
△CDQ≌△野码嫌ADP，
∴QD=PD，∠ADP=∠CDQ
同理三角形PDB与三角形ADQ
∴∠PDQ=∠QDA
∴∠PDQ=∠PDB+∠CDQ=90°
∴PDQ是等腰直角三角形
2）解：当模察P是AB中点时，
Q也是AC中点
∴颂手PD=1/2AC,QD=1/2AB
∴AP=QB,PD=AQ
∴四边形APDQ为平行四边形
∵∠A=90°
∴为矩形
∵PD=QD
∴平行四边形APDQ是正方形

Answer 4

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Answer 5

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