Question

初中数学题一道求解

在梯形ABCD中，AB‖CD，AC⊥BD，求证：AC的平方+BD的平方=（AB+CD）的平方
图没有给。要自己画
谢

Answer 1

延长AB交BE于点F,易证BFCD是平行四边形。则有DB=CF,CD=FB.角ACF=90度。

所以三角形ACF是直角三角形。则CF^2+AC^2=(AB+BF)^2，即DB^2+ac^2=(AB+CD)^2

Answer 2

做辅助线，延长AB到F做CF∥　BD交AB与点F
∵AC⊥BD　CF∥　BD
∴CF⊥AC
∵AC²＋CF²＝AF² AF＝AB＋BF
∴AC²＋CF²＝（AB＋BF）²
∴AC²＋BD²＝（AB＋BF）²
∵四边形DBFC是平行四边形
∴DC＝BF
∴AC²＋BD²＝（AB＋DC）²

Answer 3

过点B作直线BH//AC交DC延长线于点H，则三角形DBH是直角三角形，则：
BD²＋BH²=DH² 而BH=AC，DH=DC＋CH=DC＋AB，从而，
AC²＋BD²=(AB＋CD)²

Answer 4

楼主这个应该是直角梯形吧。
要求证的AC的平方+BD的平方=（AB+CD）的平方是利用勾股定理：a的平方+b的平方=c的平方
ac的平方是ad的平方+cd的平方
bd的平方是ad的平方+bd的平方
从上面看出ac和bd式子中都存在公共边ad。而ab+cd的平方则是两式子后面的两线和的平方。
所以AC的平方+BD的平方其实=2ad的平方+cd的平方+ab的平方=（AB+CD）的平方

Answer 5

证明：过B点作BE∥AC与DC延长线交于E
∵AC∥BE，AB∥CE
∴ 四边形ACEB为平行四边形
∴AC=BE，AB=CE
又∵AC⊥BD
∴BD⊥BE
BD²+BE²=DE²，DE=DC+DE=AB+CD
∴AC²+BD²=（AB+CD)²

Answer 6

设交点为O,把AC和BD分成AO+OC和BO+OD,展开就可以了，很简单。