Question

证明f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数

详细

Answer 1

首先显然，这个函数的定义域为R

然后设x1,x2∈R 满足 x1<x2
所以
f(x1)-f(x2) = -x1^3+1 -( -x2^3 +1)
=x2^3-x1^3
=(x2-x1)(x2^2+x1*x2+x1^2)
其中
x2 - x1>0 , x2^2+x1*x2+x1^2 > 0
所以
f(x1)-f(x2) > 0
且 x1<x2
所以f(x)为R上的减函数

Answer 2

用定义证比较简单。
证：
设定义域上x1，x2，且x1<x2
f(x2)-f(x1)=(-x2³+1)-(-x1³+1)
=x1³-x2³
=(x1-x2)(x1²+x1x2+x2²)
由均值不等式得：x1²+x2²>2|x1x2|>x1x2
x1²+x1x2+x2²>0，又x1<x2 x1-x2<0
f(x2)-f(x1)<0
f(x2)<f(x1)
函数在(-∞,+∞)上是减函数

Answer 3

导数法
f(x)'=-3x2≤0在(-∞,+∞)恒成立
所以f(x)=-x^3+1在(-∞,+∞)上是减函数

Answer 4

f(x)=-x3+1导数为-3
所以f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数

Answer 5

设x1>0>x2,则x1-x2>0,又因为f(x1）-f(x2)=x2^3-x1^3,x1^3>0,x2^3<0,所以f(x1)-f(x2)<0,所以是减函数