Question

宇航员站在一颗星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球。经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与

宇航员站在一颗星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球。经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离L。若抛出时的初速增大到原来的2倍时，测得抛出点与落地点之间的距离为 L。且两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G。求该星球的质量M。

Answer 1

题目有误，“在抛出的初速增大到原来2倍时，抛出点与落地点之间的距离为 L”是错的，应是（根号3）倍L　。
设抛出点到地的高度为H，原来抛出的初速是V0，第一次水平距离为S1，该星球表面的重力加速度是 g
则　H＝g t ^2 / 2
S1＝V0* t
L^2＝(g t ^2 / 2)^2＋(V0* t )^2 　....................................方程1
第二次抛出时，初速是2V0，因高度不变，时间不变，所以水平距离S2＝2*S1
3*L^2＝H^2＋S2^2＝ (g t ^2 / 2)^2＋4*(V0* t )^2 ............方程2
由方程1和2　得　g＝2*（根号3）*L / (3*t ^2)
由黄金代换　GM＝g R^2 得
该星球的质量是　M＝g R^2 / G＝[ 2*（根号3）*L / (3*t ^2) ] *R^2 / G

Answer 2

设抛出的高度为h，两次抛出的小球飞行时间相同，第一次水平距离为x，第二次为2x，
h2＋x2＝L2
h2＋(2x)2＝( 根号3L)2
得：根号3L/3
又∵　h=1/2gt^2，得： 2√3L/3t^2
又∵　 mg=GMm/R^2，得： M=(2√3LR^2)/3Gt^2