Question

在底面为直角梯形的四棱锥P--ABCD中,AD//BC,角ABC+90度,PA垂直平面ABCD，PA=3,AD=2,

AB=2根号3，BC=6
1：求证BD垂直平面PAC
2求二面角p-bd-a的大小
角ABC=90度

Answer 1

1、设BD和AC交于O，

在平面ABCD上作DE//DC，交BC延长线于E，则四边形ADEC是平行四边形，

CE=AD=2，

BE=BC+CE=8，

〈ABC=〈BAD=90°，

根据勾股定理，

AC=4√3，

DE=AC=4√3，

BD=4，

BD^2+DE^2=64,

BE^2=64,

则△DBE是RT△，

〈BDE=90°，

AC//DE，

〈BOC=〈BDE=90°，（同位角相等），

∴BD⊥AC，

PA⊥平面ABCD，

BD∈平面ABCD，

则PA⊥BD，

PA∩AC=A，

∴BD⊥平面PAC。

2、连结PO，

由前所述，BD⊥AC，

AO是PO在平面ABCD上的射影，

根据三垂线定理，

PO⊥BD，

〈AOP就是二面角P-BD-A的平面角，

在RT△ABD中，

S△ABD=AB*AD/2=2√3，

S△ABD=BD*AO/2=4*AO/2=2AO，

2AO=2√3，

AO=√3，

tan<AOP=PA/OA=3/√3=√3，

〈AOP=60°，

∴二面角P-BD-A的大小为60°。