Question

设f(x）=lnx,g(x)=f(x)+f'(x)

1)求g(x)的单调区间和最小值
2）讨论g(x)与g(1/x)的大小
3）求a的取值范围，使得g(a)-g(x)<1/a对任意x>0成立

Answer 1

1)f'(x)=1/x
g(x)=lnx+1/x
g'(x)=1/x-1/x^2=(x-1)/x^2=0, x=1
x<1, g'<0， 单调减区间
x>1, g'>0， 单调增区间
最小值在X=1时，g(1)=1
2)g(1/x)=-lnx+x
y=g(x)-g(1/x)=2lnx+1/x-x
y'=2/x-1/x^2-1=(2x-1-x^2)/x^2=-(x-1)^2/x^2<=0
因此有g(x)<=g(1/x)
3) g(a)=lna+1/a
g(x)=lnx+1/x
y=g(a)-g(x)-1/a=lna+1/a-lnx-1/x-1/a=lna-lnx-1/x<0, 恒小于0（当X>0时）
y'=-1/x+1/x^2=(1-x)/x^2
x<1时为增函数，x>1时为减函数，X=1为极大值,此极大值需小于0
y(1)=lna-0-1<0, lna<1
即0<a<e