Question

几个三角函数题目，大家帮帮忙吧

1.在三角形ABC中，其外接圆半径为2√2，其中2√2（sin²A-sin²C）=（a-b）sinB，求c，并求三角形ABC面积的最大值
2.三角形ABC是正三角形，点G为其中心，点M,N分别位于AB和AC上，且MN通过点G,其中∠MGA=α，（60º≦α≤120º），S1、S2为三角形AGM和AGN的面积，将其表示为α的函数，然后设y=1／S1²+1／S2²,求y的最大和最小值
3.正三角形ABC中，AC=2a，D、E分别位于AB和AC上面，且ADE的面积等于四边形DECB的面积，设AD=x（x≥a），ED=y，求y关于x的表达式
4.从山顶向下看车队驶来，第一辆车和第二辆车的俯角差等于第二和第三辆车的俯角差，求第一和第二辆车的距离d1和第二和第三辆车距离d2大小关系

Answer 1

2 解：不妨设AG=1
显然∠MAG=∠NAG=π/6，∠AGN=π-α
又由∠MGA=α，得∠AMG=5π/6-α，∠ANG=α-π/6
由正弦定理，
AM/sinα=AG/sin(5π/6-α)
AN/sin(π-α)=AG/sin(α-π/6)
得到AM=sinα/sin(5π/6-α)，
AN=sinα/sin(α-π/6)
S1=1/2×AG×AM=sinα/2sin(5π/6-α)
S2=1/2×AG×AN=sinα/2sin(α-π/6)

y=1／S1²+1／S2²
=4[sin²(5π/6-α)+sin²(α-π/6)]/sin²α
=2[1-cos(5π/3-2α)+1-cos(2α-π/3)]/sin²α
=2×{2-2cos[(5π/3-2α)+(2α-π/3)]/2cos[(5π/3-2α)-(2α-π/3)]/2}/sin²α
=2[2-2cos(2/3π)cos(π-2α)]/sin²α
=2(2-cos2α)/sin²α
=2(1-cos2α)/sin²α+2/sin²α
=4+2/sin²α
由π/3≦α≤2π/3知
故当α=π/2时，y有最小值6
当α=π/3（N与C重合）或2π/3（M与B重合）时，y有最大值20/3

3 解：
由正弦定理，
S△ABC=1/2AB×ACsinA=√3a²
由S△ADE=S四边形DECB得
S△ADE=1/2S△ABC=√3/2a² ①
又有
S△ADE=1/2AD×AEsinA=√3x/4×AE ②
由①②得：
AE=2a²/x ③
由余弦定理有
cosA=(AD²+AE²-DE²)/(2×AD×AE)=1/2 ④
将AD=x，DE=y和③代入④得
y²=x²+4a4/x²-a²
由上式易得，当且仅当x=√2a时，y有最小值√3a

Answer 2

3 解：
由正弦定理，
S△ABC=1/2AB×ACsinA=√3a²
由S△ADE=S四边形DECB得
S△ADE=1/2S△ABC=√3/2a² ①
又有
S△ADE=1/2AD×AEsinA=√3x/4×AE ②
由①②得：
AE=2a²/x ③
由余弦定理有
cosA=(AD²+AE²-DE²)/(2×AD×AE)=1/2 ④
将AD=x，DE=y和③代入④得
y²=x²+4a4/x²-a²
由上式易得，当且仅当x=√2a时，y有最小值√3a