Question

急急急...设Sn为数列{an}的前n项的和,且Sn=2分之3(an-1)(n属于N正),数列{bn}的通项公式bn=4n+5.

1.求证:数列{an}是等比数列；
2.若d∈{a1,a2,a3,...}∩{b1,b2,b3,...},则称d为数列{an}和{bn}的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列{dn},求数列{dn}的通项公式.

Answer 1

1.an = Sn+1 - Sn = 3(an - an-1)/2
所以an = 3an-1
所以是等比数列
2.a1 = S1 = 3(an - 1)/2
所以a1 = 3
所以an = 3的n次方
而bn = 4n + 5 ， 也可以写成bn = 4(n+1)+1
若要取{an}和{bn}的公共项，则需3的n次方 = 4k+1
即3的n次方 - 1 = 4k
而3的n次方 - 1 =(3-1)(3的n-1次方 + 3的n-2次方 +......+ 1)=2Q
Q就是上面式子中那个括号里的一大堆东西
4k就是4的倍数
所以必须有Q是偶数，2Q才能是4的倍数
而Q中的每一个小项都是基数，所以需要项数是偶数
一共是n项， 所以n要求是偶数
所以{an}和{bn}的公共项为3的偶数次幂
即9的n次方

希望楼主仔细看一下过程，有点繁~~~~~~

Answer 2

解：
a[n]=S[n]-S[n-1]=3/2(a[n]-a[n-1])，得a[n]=3a[n-1]
∴a[n]是等比数列，又a1=S1=3/2(a1-1)，解得a1=3
∴a[n]=3^n

考虑a[2n+1]=3^(2n+1)=3*9^n=3*(1+8)^n
用二项式公式展开(1+8)^n(n≥1)，除第一项1外，后面各项均能被8整除
故可设(1+8)^n=4k+1 (k=(9^n-1)/4)
∴a[2n+1]=3*(4k+1)=4(3k)+3=b[3k]
∴c[n]=a[2n+1]=3^(2n+1)

Answer 3

(1)Sn=3/2(An-1),S(n-1)=3/2[A(n-1)-1],所以Sn-S(n-1)=3/2{(An-1)-[A(n-1)]},且Sn-S(n-1)=An,所以An=3/2{(An-1)-[A(n-1)]},所以推出An=3A(n-1),故｛An}为等比数列。
(2)因为Sn=3/2(An-1),所以A1=3,所以{An}={3^1,3^2.3^3,....},且有条件知{Bn}为等差数列，{Bn}={9,13,17,.....},{Dn}=9^n

Answer 4