Question

若f(X)=sin(x+π／4),x∈［0,2π）,关于x的方程f(x)=m有两个不相等的实数根x1,x2,则sin(x1+x2)=?

这个问题中，为什么m要大于等于二分之根号二小于1时，方程f(x)有两个不相等的实数根x1,x2。是怎么看出来的呀？详细说一下吧，谢谢

Answer 1

由对称地：x2=2*（5π／4-x1）+x1 或 x2=2*（π／4-x1）+x1 所以x1+x2=定值π／2或5π／2 答案一样1 作图更清晰。填空题直接填 大题就要全面。

追问

我想问一下 2* 是什么意思啊？

追答

在算法中（也就包括在高中数学里）人们用*代表乘法运算符号x，比如在程序框中的一个判断框要填ix5〉25？ 真正是要填i*5〉25？的。
不是m的问题，关键是有两个不相等的实数根，也就是说，m已经能满足有两个不相等的实数根，跟m没关系了。现在只需在定义域x∈［0,2π）内，作出函数f(X)=sin(x+π／4)的图像，并作出直线y=m使直线与函数f(X)=sin(x+π／4)的图像有2个交点就行，然后交点有了对应的x1，x2，再从对称轴分析出x1+x2的值。注意全部情况，就是x轴上方与下方都画，虽然答案一样，但是分析全面。
不是为了特地说明m的范围。如果你要知道为什么m有的取值范围。那是因为m要满足方程f(x)=m有两个不相等的实数根，这个条件使得m受限，否则如果m是随便值，比如m=1000，那样方程f(x)=m就无解了。既然题目已经说了有2个不同根，你又何必去管他什么时候有不同根。现在关键是在不同根的情况下分析出x1+x2的值。为什么是√2/2<m<1与-1<m<√2/2？因为这是三角函数，我们在作图时要有交点就会发现m必须在一个范围内……要加油！

Answer 2

作出 f(x)=cos(x+π/4)在(0,2π)上的图像
f(x)=m的根就是f(x)=cos(x+π/4)与 y=m的交点的横坐标
由图可知：
当 √2/2<m<1时，x1+x2=2(7π/4)=7π/2
当 -1<m<√2/2时，x1+x2=2(3π/4)=3π/2

Answer 3

画个图呗 x1+x2=π／2 sin(x1+x2)=1