Question

定义在R上的函数y=f(x),f(0)不等于0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的x,y恒有f(x+y)=f(x)×f(y)

证明，当x<0,0<f(x)<1;f(x)在R上单调。

Answer 1

这样做~
对任意的x,y恒有f(x+y)=f(x)×f(y),所以令x=y=0，得到f(0)=f²(0)，而f(0)≠0，所以f(0)=1。
再令y=-x,得到f(0)=f(x)×f(-x）=1，所以f(x)=1/f(-x)，当x>0时，f(x)>1,所以就有当x<0,0<f(x)<1。

根据定义证法：设x1、x2是函数在定义域上面任意两个实数，不妨设x1＜x2,那么f(x1）-f(x2)=
f(x2+x1-x2)-f（x2)=f(x2)f(x1-x2)-f(x2)=f(x2)[f(x1-x2)-1]
因为x1＜x2,所以f(x1-x2)＜1，对于任意的x，均有f（x)＞0（这个由第一问可以知道），所以
f(x1）-f(x2)＜0，进而f(x1)＜f(x2),故函数单调递增，所以函数单调！
希望对你有帮助~

追问

当x>0时，f(x)>1,所以就有当x<0,0<f(x)<1？不懂！对于任意的x，均有f（x)＞0（这个由第一问可以知道），不懂！

追答

f(x)×f(-x）=1，因为x＞0时，f(x)＞1，所以对于每一个大于零的x，它对应的f(-x)的值是它的导数，也就是说f(x)区域无穷大时，f(-x)的值就趋向于0.
对于x=0，f(x)=1；对于x＞0，f(x）＞1，必然是大于0的；对于x＜0，0＜f(x)＜1也是都大于0，所以就有结论！

Answer 2

f（0）＝1
（2）a＝－b
∵f（0）=f(a)×f(－a)＞0
∴X∈R，恒有f(x)>0
（3）f(a+b)=f(a)×f(b)
f(a+b)／f(a)＝f(b)
设×¹，ײ∈R且×¹＜ײ
∵X∈R，恒有f(x)>0
∴f(ײ)／f(×¹)＝f(ײ－×¹)>1
f(x)的单调递增追问∴f(ײ)／f(×¹)＝f(ײ－×¹)>1
为何?
f(a+b)=f(a)×f(b)变形为f(a+b)／f(a)＝