Question

已知函数f(x)的定义域为R.且满足f(x+2)=-f(x)。（

已知函数f(x)的定义域为R.且满足f(x+2)=-f(x)。（1）求证f(x)是周期函数；（2）若f(x)是奇函数，且当0小于等于x小于等于1当时，f(x)=1/2x求使f(x)=-1/2的所有x的值

Answer 1

（1）周期函数 f(x+T)=f(x) T !=0 思路：凑 甩掉负号
因为 f(x)=-f(x+2) 在R上成立 令 x=X-2 得到 f(X-2)=-f(X)在 R上成立
即 f(x+2)=f(x-2)=-f(x) 在R上成立 再令 x-2=X 则 x= X+2 得到 f(X+4)=f(X)=-f(X+2)
所以 f(x+4)=f(x) 函数 f(x) 为定义在R上 周期为4的周期函数 得证
（2）思路 函数为奇函数 则f(x)=-f(-x) 且在(0，1】上f(x)=1/2x 且由（1）结论
可以说f(x)是一个确定可求的函数 我们要做的工作就是恢复这个函数全貌
周期为4的奇函数 我们只要恢复出 x在【-2，2】上的 f(x) 不就OK了么？！
解 由于 f(x)为定义为R的奇函数 奇函数关于原点对称，所以必有 f(0)=0
在（-2，-1】上 0≤ x+2≤1 f(x)=-f(x+2)= -1 /(2x+4)
在【-1，0） 上 0≤ -x≤1 f(x)=-f(-x)= 1 /(2x)
在（0，1】 上 0≤ x≤1 f(x)= 1 /(2x)
在【1，2） 上 0≤ x-1≤1 f(x)=-f(-x)=-[-1 /(-2x+4)]=1/(4-2x)
又由于f(x+2)=-f(x) 代入x=0 x=-2 得到 f(-2)= f(2)=-f(0)=0
在【-2，2】周期中 令f(x)= - 1/2 解之 x= -1
所以 当x= -1+ 4N N为整数时 f(x)= -1/2

Answer 2

(1)f(x)= -f(x+2)
令X=x+2代入
得到f(x+2)= -f(x+4)= -f(x)
f(x)=f(x+4)
即证得f(x)为周期为4的周期函数

（2）y=1/2x为奇函数
所以在[-1,1]符合
1/2x= -1/2
求的x= -1
又因为其为周期为4的函数
所以x= -1+4n （n为整数）

Answer 3

f(x)周期显然为2.使得f(x)=-1/2的值为{2k-1，其中k为整数即可}