Question

一个集合含有10个互不相同的两位数。试证，这个集合必有2个无公共元素的子集合，此两子集的各数之和相等。

一个集合含有10个互不相同的两位数。试证，这个集合必有2个无公共元素的子集合，此两子集的各数之和相等。

Answer 1

解：

已知集合含有10个不同的两位数，因它含有10个元素，故必有210＝1024个子集，其中非空子集有1023个，每一个子集内各数之和都不超过90＋91＋…98＋99＝945<1023。

根据抽屉原理，一定存在2个不同的子集，其元素之和相等。如此2个子集无公共元素，即交集为空集，则已符合题目要求；如果这2个子集有公共元素，则划去它们的公共元素即共有的数字，可得两个无公共元素的非空子集，其所含参数之和相等。

概念

集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总而成的集体。其中，构成集合的这些对象则称为该集合的元素。

例如，全中国人的集合，它的元素就是每一个中国人。通常用大写字母如A,B,S,T,...表示集合，而用小写字母如a,b,x,y,...表示集合的元素。若x是集合S的元素，则称x属于S，记为x∈S。若y不是集合S的元素，则称y不属于S，记为y∉S。

Answer 2

这题用鸽巢原理来解。
已知集合含有10个不同的两位数，因它含有10个元素，故必有2^10=1024个子集。
去掉一个空子集，得非空子集有1023个。
由于是两位数，每一个子集内各数之和都不超过90+91+…98+99=945<1023。
根据鸽巢原理，显然，945种求和方式，对应1023种子集，那么肯定存在两个子集，其和是相等的。
接下来分析这两个子集，如果2个子集无公共元素，即交集为空集，那么直接符合题目要求
如果这2个子集有公共元素，那么，将共有数字划掉，剩下的部分没有公共元素，但其元素之和依然相等。
所以，这样的两个子集必然可以找到，原命题得证
这道题的关键还是鸽巢原理的运用，核心在于如何构建鸽巢

Answer 3

解：已知集合含有10个不同的两位数，因它含有10个元素，故必有210＝1024个子集，其中非空子集有1023个，每一个子集内各数之和都不超过90＋91＋…98＋99＝945<1023，根据抽屉原理，一定存在2个不同的子集，其元素之和相等。如此2个子集无公共元素，即交集为空集，则已符合题目要求；如果这2个子集有公共元素，则划去它们的公共元素即共有的数字，可得两个无公共元素的非空子集，其所含参数之和相等。

祝你开心！