Question

1.已知{an}是各项为正的数列，Sn为其前n项和，且a1=1,Sn=1/2*(an+1/an)

(1)求（S2）²，（S3）²的值（2）求数列{an}的通项公式
2.在数列{an}中，a1=1,a(n+1)=(1+1/n)*an+n+(1/2^n)
(1)设bn=an/n,求{bn}通项公式
（2）求数列{an}前n项和Sn

Answer 1

1.
(1)由题知，
Sn=1/2*(an+1/an)
两边同乘以2an
得2an*Sn=an²+1
而n≥2时，an=Sn-S(n-1)
所以，代入得
2(Sn-S(n-1))*Sn=(Sn-S(n-1))²+1
化简得
2Sn²-2S(n-1)*Sn=Sn²+S(n-1)²-2Sn*S(n-1)+1
即Sn²-S(n-1)²=1
所以,
S2²=S1²+1=a1²+1=2
S3²=S2²+1=2+1=3

(2)S1²=a1²=1
而Sn²-S(n-1)²=1
所以，Sn²=n
所以，Sn=√n
n≥2时，an=Sn-S(n-1)=√n-√(n-1)
n=1时，an=a1=1=√1-√(1-1)满足式子
所以，Sn=√n-√(n-1)

2.
(1)已知a(n+1)=(1+1/n)*an+(n+1)/2^n
所以，同除以(n+1)
a(n+1)/(n+1)=an/n+1/2^n
所以，由bn=an/n
得b(n+1)-bn=1/2^n
b1=a1/1=1
所以，
bn-b(n-1)=1/2^(n-1)
b(n-1)-b(n-2)=1/2^(n-2)
……
b2-b1=1/2^1=1/2
b1=1
所以bn=1+1/2+1/4+……+1/2^(n-1)=(1-1/2^n)/(1-1/2)
=2-1/2^(n-1)

(2)an=n*bn=2n-n/2^(n-1)
所以，
∑(2n)=n²+n
∑(n/2^(n-1))=1/2^0+2/2^1+3/2^2+……+n/2^(n-1)
两边同乘以2得
2*∑(n/2^(n-1))=2+2/2^0+3/2^1+……+n/2^(n-2)
相减得
∑(n/2^(n-1))=2+1+1/2+1/2^2+1/2^3+……+1/2^(n-2)-n/2^(n-1)
=2+2-1/2^(n-2)-n/2^(n-1)
=4-(n+2)/2^(n-1)

所以，Sn=∑(2n-n/2^(n-1))
=∑(2n)-∑(n/2^(n-1))
=n²+n-4+(n+2)/2^(n-1)