Question

观察下列式子:1+1/2^2<3/2,z+1/2^2+1/3^2<5/3,1+1/2^2+1/3^2+1/4^2<7/4,…，由此猜想一个一般性的结论

观察下列式子:1+1/2^2<3/2,z+1/2^2+1/3^2<5/3,1+1/2^2+1/3^2+1/4^2<7/4,…，由此猜想一个一般性的结论，并给出证明。

Answer 1

解：猜想：1+1/2²+1/3²+……+1/n²＜（2n-1）/n （n≥2且n∈N*）

证明：①当n=2时， 左边=1+1/2²=5/4 右边=（2×2-1)/2=3/2
∵5/4＜3/2 即 左边＜右边 ∴当n=2时，不等式成立。
②假设n=k时，不等式成立，即1+1/2²+1/3²+……+1/k²＜（2k-1）/k （k≥2且k∈N*）
当n=k+1时， 左边=1+1/2²+1/3²+……+1/k²+1/（k+1）²
＜（2k-1）/k +1/（k+1）²
=（2k³+3k²+k-1）/[k（k+1）²]
右边=[2﹙k+1﹚-1]/（k+1）
=（2k+1）/（k+1）
∵ （2k³+3k²+k-1）/[k（k+1）²] －（2k+1）/（k+1）
=（-1）/[k（k+1）²]
又∵ k≥2且k∈N* ∴k（k+1）²＞0 ∴（-1）/[k（k+1）²]＜0 ∴左边＜右边
∴当n=k+1时，不等式成立。
由①②得，对于n≥2且n∈N*的数，不等式都成立。

Answer 2

[1+(1/2)^2+(1/3)^2+...+(1/n)^2]<(2n-1)/n (n为大于2的自然数)