Question

物理问题微积分求解

如图，一小球质量为m从该点下落，该店据圆弧最低点为h，下端为一半径为R的圆的一部分，其所对圆心角为α=120°，已知斜面光滑，圆弧段动摩擦系数为μ，请问，当小球下落，在圆弧上左右运动，最后停在最低点时，它总共行驶的路程是多少？
（请注意这不是高中常规题，常规题是已知摩擦力不变，但是这是摩擦系数不变）
题 大概意思就是这个，应该没漏条件吧...
这道题纠结我良久，还望大虾们指点，肯定要用微积分，我列了一个式子但不知道怎么解，，，还望大侠们指点，谢谢
图在这http://zhidao.baidu.com/question/298511440.html

Answer 1

设小球在圆弧上的某点时倾斜角为 θ，如在最低点时为 θ=0
转过一个小角度dθ,则摩擦力做功为
dWf=μmgcosθ*Rdθ
积分得Wf=μmgRsinθ+C=μmgL+C, C为常数，L为水平方向的位移

1)如果所求为小球在水平方向的路程，则可以用能量守恒
mgh=μmgL
L=h/μ
此处L为小球在圆弧上水平运动的路程

2)如果所求为小球在圆弧上曲线运动的路程，那此处则比较复杂
先考虑小球运动到圆弧右边θ1处达到最高点，速度为零
所以有
mg[h-R(1-cosθ1)]=μmgR[cos(a/2)+cosθ1]
再有小球运动到左边θ2处达到最高点，速度为零
所以有
mgR(cosθ2-cosθ1)=μmgR(cosθ2+cosθ1)
……
如此可类推出θ1、θ2……θn，最后θn=0
则小球在圆弧上曲线运动的总路程为
L=R[(a/2)+θ1+θ2……+θn]
此处只能一个一个的求解θi，然后求出总的路程
但是有得出的方程可知，没有h、R、μ的具体值，是无法求出L的解析解的
如果给出h、R、μ的具体数值则可以算出精确解

追问

请问
mg[h-R(1-cosθ1)]=μmgR[cos(a/2)+cosθ1]
这一步是怎了来的，谢谢

追答

不好意思，等式有错误，应为
mg[h-R(1-cosθ1)]=μmgR[sin(a/2)+sinθ1]
后面的等式右边的cos都要换成sin
等式前面的为重力势能的减小量
等式后面的项是由Wf=μmgRsinθ+C得出来的

Answer 2

不用微积分，用能量守恒定律去求解。
先求出小球初始状态的重力势能，当小球进入圆弧时，所有的重力势能克服摩擦力做功，而摩擦力的大小可由小球小球的圆周运动规律求出，说到这里，你应该明白了吧。
追根到底还是常规题，只是思维角度变换一下而已。

追问

不对不对，你说的那种是摩擦力不变的，但是这是动摩擦系数不变

Answer 3

看不到图