Question

平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=1,AD=2,角ADC=60度，AF=a(a大于0)

(1)求证：AC垂直BF;(2)若二面角F-BD-A的大小为60度，求a的值。

Answer 1

平行四边形性质
BC=2,AB=1,ABC=60°
所以
BAC=90°
因为
FAC=90°

AC和BA,AF都垂直
BAF所在面与AC垂直
BF垂直AC
2)

BD²=1²+2²-2*2*cos120=5+2=7
BF²=1+a²
DF²=4+a²
cosBFD=(5+2a²-49)/{2根号[(1+a²)(4+a²)]}
a²=t
cosBFD=(t-22)/根号[(1+t)(4+t)]
sinBFD=根号{(49t-480)/(1+t)(4+t)}
S三角形BFD=0.5BF*FD*sinBFD=0.5根号(49t-480)
S ABD=0.5根号3
S BFD/S ABD=根号((49t-480)/3)=1/cos二面角
根号[(49t-480)/3]=2
49t-480=12
49t=492
a=(根号492)/7
=4(根号123)/7

Answer 2

先画草图平行四边形为底面，
解：（1）因为图形ACEF为矩形，
所以 EA垂直AC
又因为 平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直
所以 FA垂直AB
因为 FA ，AB 交与A点，且AB， FA 在 平面ABF上
易得 平面ABF 垂直 底面ABCD
所以 平面ABF上的边BF垂直 AC
即AC 垂直 BF
（2）因为 平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直
且平面FAO在平面ACEF上
所以平面FAO垂直底面ABCD
易得角AOF为二面角F-BD-A的平面角
由平面几何知识得BD=根号3（余弦定理） ，所以AO=二分之根号3
把三角形FAO 提炼出来，易得直角三角形，在解三角形
得到a=二分之三