Question

同一函数,它的所有原函数之间只相差常数C吗?求高手解释.

教材上已经证明只相差常数C,但是做题过程中遇到以下问题:
详情见图,点击放大.
若只相差常数C.
那么(3)(4)式应相等,但是我怎么也看不出(3)(4)式能相等.
不敢怀疑教材,求高手解释问题出在哪?

Answer 1

同一函数,只有它的所有原函数处处连续时，只相差常数C.你的教材有没有说原函数处处连续，如果没有的话，就得怀疑教材。

你的被积函数处处连续，作为原函数必然处处连续，不然，当它存在间断点时，它的导函数怎么等于被积函数。

你所求出来的两个原函数显然都存在间断点，是有漏洞的原函数。例如，被积函数在x=0处的值为1/3，那么原函数在x=0处的导数也应该为1/3.然后你去看一下你的第二个原函数，在x=0处，函数分母为0,也就是说第二个原函数在x=0处没有定义。在高等数学中经常会有这种漏洞发生，不妨你去仔细看一下你的推导过程，里面肯定有漏洞。一般有两种情况：1、当一个代数式开方后，不知正负符号，不取绝对值，而是直接取正号；2、两个代数式相除，不考虑分母为零的情况。

很多情况下，高等数学不讲究严密性，允许上面两种情况发生。所以才会有你提出来这个问题。

反过来，如果一函数的原函数存在间断点时，所有原函数不一定只相差常数C。给你看个图片。

Answer 2

可以请问专家啊！！！！