Question

一个关于线性代数的问题，请高手指教！急急急！

A是一个n x n的矩阵，A的平方等于0。求证 A+I的阶等于n（rank（A+I) = n

Answer 1

由 A^2=0
所以 (A+E)A - (A+E) = -E
所以 (A+E)(A-E) = -E
所以 A+E 可逆, 且 (A+E)^-1 = E-A
故 r(A+E) = n.

如果你学过特征值特征向量部分, 可以这样证明:
由A^2=0知A的特征值都是0.
故 A+E 的特征值都是1.
所以 |A+E| = 1
所以 A+E 可逆
故 r(A+E) = n.

Answer 2

由 A^2=0
所以 (A+E)A - (A+E) = -E
所以 (A+E)(A-E) = -E
所以 A+E 可逆, 且 (A+E)^-1 = E-A
故 r(A+E) = n